Kolmogorovovy rovnice - Kolmogorov equations
v teorie pravděpodobnosti, Kolmogorovovy rovnice, počítaje v to Kolmogorovovy dopředné rovnice a Kolmogorovovy zpětné rovnice, charakterizovat stochastické procesy. Zejména popisují, jak se v průběhu času mění pravděpodobnost, že se stochastický proces nachází v určitém stavu.
Difúzní procesy vs. skokové procesy
Psaní v roce 1931, Andrei Kolmogorov vychází z teorie diskrétního času Markovových procesů, které jsou popsány v Chapman-Kolmogorovova rovnice, a snažil se odvodit teorii Markovových procesů spojitého času rozšířením této rovnice. Zjistil, že existují dva druhy Markovových procesů spojitého času, v závislosti na předpokládaném chování v malých časových intervalech:
Pokud předpokládáte, že „v malém časovém intervalu existuje naprostá pravděpodobnost, že stát zůstane nezměněn; pokud se však změní, může být změna radikální“,[1] pak jste vedeni k tomu, čemu se říká skokové procesy.
Druhý případ vede k procesům, jako jsou ty, které „zastupuje difúze a tím Brownův pohyb; tam je jisté, že k nějaké změně dojde v jakémkoli časovém intervalu, jakkoli malém; pouze zde je jisté, že změny v malých časových intervalech budou také malé “.[1]
Pro každý z těchto dvou druhů procesů odvodil Kolmogorov systém rovnic vpřed a vzad (celkem čtyři).
Dějiny
Rovnice jsou pojmenovány po Andrei Kolmogorov protože byly zdůrazněny v jeho základní práci z roku 1931.[2]
William Feller V roce 1949 používal názvy „dopředná rovnice“ a „zpětná rovnice“ pro svou obecnější verzi Kolmogorovovy dvojice, a to jak při skokových, tak i difúzních procesech.[1] Mnohem později, v roce 1956, označil rovnice pro skokový proces jako „Kolmogorovovy rovnice vpřed“ a „Kolmogorovova vzad rovnice“.[3]
Jiní autoři, jako např Motoo Kimura odkazoval se na difúzní (Fokker – Planckova) rovnice jako Kolmogorovova dopředná rovnice, název, který přetrvává.[4]
Moderní pohled
- V kontextu a kontinuální Markovův proces s skoky viz Kolmogorovovy rovnice (Markovův skok). Zejména v přírodní vědy dopředná rovnice je také známá jako hlavní rovnice.
- V kontextu a difúze proces, pro zpětné Kolmogorovovy rovnice viz Kolmogorovovy zpětné rovnice (difúze). Dopředu Kolmogorovova rovnice je také známá jako Fokker-Planckova rovnice.
Příklad z biologie
Jeden příklad z biologie je uveden níže:[5]
Tato rovnice se použije na model populační růst s narození. Kde je index populace, s odkazem na počáteční populaci, je porodnost a konečně , tj pravděpodobnost dosažení určité velikost populace.
Analytické řešení je:[5]
Toto je vzorec pro hustotu z hlediska předchozích, tj. .
Reference
- ^ A b C Feller, W. (1949) „O teorii stochastických procesů se zvláštním odkazem na aplikace“, Sborník (prvního) Berkeleyova sympozia o matematické statistice a pravděpodobnosti str. 403-432.
- ^ Andrei Kolmogorov, „Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung“ (O analytických metodách v teorii pravděpodobnosti), 1931, [1]
- ^ William Feller, 1957. O hranicích a bočních podmínkách pro Kolmogorovovy diferenciální rovnice [2]
- ^ Kimura, Motoo (1957) „Některé problémy stochastických procesů v genetice“, Annals of Mathematical Statistics, 28 (4), 882-901 JSTOR 2237051
- ^ A b Logan, J. David a Wolesensky, Willian R. Matematické metody v biologii. Pure and Applied Mathematics: a Wiley-interscience Series of Texts, Monographs, and Tracts. John Wiley & Sons, Inc. 2009. str. 325-327.