Kolmogorovovo kritérium - Kolmogorovs criterion - Wikipedia

v teorie pravděpodobnosti, Kolmogorovovo kritérium, pojmenoval podle Andrey Kolmogorov, je teorém poskytnutí nezbytné a dostatečné podmínky pro a Markovův řetězec nebo Markovův řetězec v nepřetržitém čase být stochasticky totožný s jeho časově obrácenou verzí.

Diskrétní Markovovy řetězce

Věta říká, že neredukovatelný, pozitivní opakující se, neperiodický Markovův řetězec s přechodová matice P je reverzibilní právě tehdy, pokud jeho stabilní markovský řetězec vyhovuje^[1]

{ displaystyle p_ {j_ {1} j_ {2}} p_ {j_ {2} j_ {3}} cdots p_ {j_ {n-1} j_ {n}} p_ {j_ {n} j_ {1} } = p_ {j_ {1} j_ {n}} p_ {j_ {n} j_ {n-1}} cdots p_ {j_ {3} j_ {2}} p_ {j_ {2} j_ {1}} }

pro všechny konečné posloupnosti stavů

{ displaystyle j_ {1}, j_ {2}, ldots, j_ {n} v S.}

Tady p_ij jsou komponenty přechodové matice P, a S je stavový prostor řetězce.

Příklad

Zvažte toto číslo znázorňující část markovského řetězce se státy i, j, k a l a odpovídající pravděpodobnosti přechodu. Zde Kolmogorovovo kritérium naznačuje, že součin pravděpodobností při procházení libovolnou uzavřenou smyčkou musí být stejný, takže součin kolem smyčky i na j na l na k vrací do i musí se rovnat smyčce opačně,

{ displaystyle p_ {ij} p_ {jl} p_ {lk} p_ {ki} = p_ {ik} p_ {kl} p_ {lj} p_ {ji}.}

Důkaz

Nechat ${ displaystyle X}$ být Markovovým řetězcem a označovat ${ displaystyle pi}$ jeho stacionární distribuce (taková existuje, protože řetězec se pozitivně opakuje).

Pokud je řetězec reverzibilní, rovnost vyplývá ze vztahu ${ displaystyle p_ {ji} = { frac { pi _ {i} p_ {ij}} { pi _ {j}}}}$ .

Nyní předpokládejme, že rovnost je splněna. Opravit stavy ${ displaystyle s}$ a ${ displaystyle t}$ . Pak

{ displaystyle { text {P}} (X_ {n + 1} = t, X_ {n} = i_ {n}, ldots, X_ {0} = s | X_ {0} = s)}

{ displaystyle = p_ {si_ {1}} p_ {i_ {1} i_ {2}} cdots p_ {i_ {n} t}}

{ displaystyle = { frac {p_ {st}} {p_ {ts}}} p_ {ti_ {n}} p_ {i_ {n} i_ {n-1}} cdots p_ {i_ {1} s} }

{ displaystyle = { frac {p_ {st}} {p_ {ts}}} { text {P}} (X_ {n + 1}}

{ displaystyle = s, X_ {n}}

{ displaystyle = i_ {1}, ldots, X_ {0} = t | X_ {0} = t)}

.

Nyní sečtěte obě strany poslední rovnosti pro všechny možné seřazené volby ${ displaystyle n}$ státy ${ displaystyle i_ {1}, i_ {2}, ldots, i_ {n}}$ . Tím získáváme ${ displaystyle p_ {st} ^ {(n)} = { frac {p_ {st}} {p_ {ts}}} p_ {ts} ^ {(n)}}$ tak ${ displaystyle { frac {p_ {st} ^ {(n)}} {p_ {ts} ^ {(n)}}} = { frac {p_ {st}} {p_ {ts}}}}$ . Poslat ${ displaystyle n}$ na ${ displaystyle infty}$ na levé straně poslední. Z vlastností řetězce vyplývá, že ${ displaystyle lim _ {n to infty} p_ {ij} ^ {(n)} = pi _ {j}}$ , proto ${ displaystyle { frac { pi _ {t}} { pi _ {s}}} = { frac {p_ {st}} {p_ {ts}}}}$ což ukazuje, že řetěz je reverzibilní.