Kelvinova transformace - Kelvin transform
The Kelvinova transformace je zařízení používané v klasice teorie potenciálu rozšířit koncept a harmonická funkce tím, že umožňuje definici funkce, která je „harmonická v nekonečnu“. Tato technika se také používá při studiu subharmonický a superharmonie funkce.
Aby bylo možné definovat Kelvinovu transformaci F* funkce F, je třeba nejprve zvážit pojem inverze v kouli v Rn jak následuje.
Je možné použít inverzi v jakékoli sféře, ale myšlenky jsou nejjasnější, když uvažujeme o sféře se středem v počátku.
Vzhledem k pevné sféře S(0,R) se středem 0 a poloměrem R, inverze bodu X v Rn je definován jako
Užitečným účinkem této inverze je, že počátek 0 je obrazem , a je obrazem 0. Pod touto inverzí se koule transformují do koulí a exteriér koule se transformuje do interiéru a naopak.
Kelvinova transformace funkce je pak definována:
Li D je otevřená podmnožina Rn který neobsahuje 0, pak pro jakoukoli funkci F definováno dne DKelvinova transformace F* z F s ohledem na sféru S(0,R) je
Jednou z důležitých vlastností Kelvinovy transformace a hlavním důvodem jejího vytvoření je následující výsledek:
- Nechat D být otevřenou podmnožinou v Rn který neobsahuje počátek 0. Potom funkci u je harmonická, subharmonická nebo superharmonická v D právě tehdy, když se Kelvinova transformace u* s ohledem na sféru S(0,R) je harmonický, subharmonický nebo superharmonický v D*.
To vyplývá ze vzorce
Viz také
Reference
- William Thomson, lord Kelvin (1845) „Extrait d'une lettre de M. William Thomson à M. Liouville“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 10: 364–7
- William Thompson (1847) „Extraits deux lettres adressees à M. Liouville, par M. William Thomson“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 12: 556–64
- J. L. Doob (2001). Teorie klasického potenciálu a její pravděpodobný protějšek. Springer-Verlag. p. 26. ISBN 3-540-41206-9.
- L. L. Helms (1975). Úvod do teorie potenciálu. R. E. Krieger. ISBN 0-88275-224-3.
- O. D. Kellogg (1953). Základy teorie potenciálu. Doveru. ISBN 0-486-60144-7.
- John Wermer (1981) Teorie potenciálu 2. vydání, strana 84, Přednášky z matematiky #408 ISBN 3-540-10276-0