Küpfmüllersův princip nejistoty - Küpfmüllers uncertainty principle - Wikipedia

Küpfmüllerův princip nejistoty podle Karl Küpfmüller uvádí, že vztah doby náběhu signálu s omezeným pásmem k jeho šířce pásma je konstantní.

${ displaystyle Delta f Delta t geq k}$

s ${ displaystyle k}$ buď ${ displaystyle 1}$ nebo ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$

Důkaz

Signál s omezeným pásmem ${ displaystyle u (t)}$ s Fourierova transformace ${ displaystyle { hat {u}} (f)}$ ve frekvenčním prostoru je dán vynásobením libovolného signálu ${ displaystyle { underline { hat {u}}} (f)}$ s ${ displaystyle { hat {u}} (f) = {{ podtržení { hat {u}}} (f)} {{ Velký |} _ { Delta f}}}$ s obdélníková funkce šířky ${ displaystyle Delta f}$

${ displaystyle { hat {g}} (f) = operatorname {rect} left ({ frac {f} { Delta f}} right) = chi _ {[- Delta f / 2, Delta f / 2]} (f): = { begin {cases} 1 & | f | leq Delta f / 2 0 & { text {else}} end {cases}}}$

as (použití konvoluční věta )

${ displaystyle { hat {g}} (f) cdot { hat {u}} (f) = (g * u) (t)}$

Protože Fourierova transformace obdélníkové funkce je a funkce sinc a naopak

${ displaystyle g (t) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int limity _ {- { frac { Delta f} {2}}} ^ { frac { Delta f} {2}} 1 cdot e ^ {j2 pi ft} df = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} cdot Delta f cdot operatorname {si} vlevo ({ frac {2 pi t cdot Delta f} {2}} vpravo)}$

Nyní první kořen ${ displaystyle g (t)}$ je v ${ displaystyle pm { frac {1} { Delta f}}}$, což je doba náběhu ${ displaystyle Delta t}$ z puls ${ displaystyle g (t)}$, nyní následuje

${ displaystyle Delta t = { frac {1} { Delta f}}}$

Rovnost se udává, pokud ${ displaystyle Delta t}$ je konečný.

Pokud jde o skutečný signál, který má kladné i záporné frekvence stejného frekvenčního pásma, ${ displaystyle Delta f}$ se stává ${ displaystyle 2 cdot Delta f}$,což vede k ${ displaystyle k = { frac {1} {2}}}$ namísto ${ displaystyle k = 1}$

Reference

• Küpfmüller, Karl; Kohn, Gerhard (2000), Theoretische Elektrotechnik und Elektronik, Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-56500-0.