Joukowského transformace - Joukowsky transform

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Květen 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Příklad Joukowského transformace. Kruh nahoře je transformován do Joukowského profilu křídla níže.

v aplikovaná matematika, Joukowského transformace, pojmenoval podle Nikolaj Žukovskij (který ji publikoval v roce 1910),^[1] je konformní mapa historicky používá k pochopení některých principů profil křídla design.

Transformace je

${ displaystyle z = zeta + { frac {1} { zeta}},}$

kde ${ displaystyle z = x + iy}$ je komplexní proměnná v novém prostoru a ${ displaystyle zeta = chi + i eta}$ je komplexní proměnná v původním prostoru. Tato transformace se také nazývá Joukowského transformace, Joukowského transformace, Žukovského transformace a další varianty.

v aerodynamika, transformace se používá k řešení pro dvourozměrný potenciální tok kolem třídy profilů křídel známých jako Joukowsky profilů křídel. A Joukowsky profil křídla je generován v složité letadlo (${ displaystyle z}$-plán) pomocí Joukowského transformace na kruh v ${ displaystyle zeta}$-letadlo. Souřadnice středu kruhu jsou proměnné a jejich změna upravuje tvar výsledného profilu křídla. Kruh uzavírá bod ${ displaystyle zeta = -1}$ (kde je derivace nula) a protíná bod ${ displaystyle zeta = 1.}$ Toho lze dosáhnout pro jakoukoli povolenou středovou polohu ${ displaystyle mu _ {x} + i mu _ {y}}$ změnou poloměru kruhu.

Profily křídla Joukowsky mají hrot na jejich odtoková hrana. Úzce související konformní mapování, Kármán – Trefftzova transformace, generuje mnohem širší třídu profilů Kármán – Trefftz řízením úhlu zadní hrany. Když je zadán úhel zadní hrany nula, redukuje se Kármán – Trefftzova transformace na Joukowského transformaci.

Obecná Joukowského transformace

Joukowského transformace libovolného komplexního čísla ${ displaystyle zeta}$ na ${ displaystyle z}$ je následující:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} z & = x + iy = zeta + { frac {1} { zeta}} & = chi + i eta + { frac {1} { chi + i eta}} [2 pt] & = chi + i eta + { frac { chi -i eta} { chi ^ {2} + eta ^ {2}}} [2 pt ] & = { frac { chi left ( chi ^ {2} + eta ^ {2} +1 right)} { chi ^ {2} + eta ^ {2}}} + i { frac { eta left ( chi ^ {2} + eta ^ {2} -1 right)} { chi ^ {2} + eta ^ {2}}}. end {zarovnáno}} }$

Takže skutečný (${ displaystyle x}$) a imaginární (${ displaystyle y}$) komponenty jsou:

${ displaystyle { begin {aligned} x & = { frac { chi left ( chi ^ {2} + eta ^ {2} +1 right)} { chi ^ {2} + eta ^ {2}}}, [2pt] y & = { frac { eta left ( chi ^ {2} + eta ^ {2} -1 right)} { chi ^ {2} + eta ^ {2}}}. end {zarovnáno}}}$

Ukázka Joukowského profilu křídla

Transformace všech komplexních čísel na jednotkovém kruhu je zvláštní případ.

${ displaystyle | zeta | = { sqrt { chi ^ {2} + eta ^ {2}}} = 1, quad { text {což dává}} quad chi ^ {2} + eta ^ {2} = 1.}$

Skutečná složka se tedy stává ${ displaystyle x = { frac { chi (1 + 1)} {1}} = 2 chi}$ a imaginární složka se stává ${ displaystyle y = { frac { eta (1-1)} {1}} = 0}$.

Kružnice komplexní jednotky se tedy mapuje na rovnou desku na řádku reálného čísla od −2 do +2.

Transformace z jiných kruhů vytváří širokou škálu tvarů profilů křídel.

Pole rychlosti a cirkulace pro profil křídla Joukowského

Řešení potenciální tok kolem kruhového válce je analytický a dobře známé. Je to superpozice rovnoměrný tok, a dublet a vír.

Složitá rychlost konjugátu ${ displaystyle { widetilde {W}} = { widetilde {u}} _ {x} -i { widetilde {u}} _ {y},}$ kolem kruhu v ${ displaystyle zeta}$- letadlo je

${ displaystyle { widetilde {W}} = V _ { infty} e ^ {- i alpha} + { frac {i Gamma} {2 pi ( zeta - mu)}} - { frac {V _ { infty} R ^ {2} e ^ {i alpha}} {( zeta - mu) ^ {2}}},}$

kde

${ displaystyle mu = mu _ {x} + i mu _ {y}}$ je komplexní souřadnice středu kruhu,

${ displaystyle V _ { infty}}$ je rychlost přímého přenosu tekutiny,

${ displaystyle alpha}$ je úhel útoku profilu křídla s ohledem na tok volného proudu,

${ displaystyle R}$ je poloměr kruhu, vypočítaný pomocí ${ displaystyle R = { sqrt { vlevo (1- mu _ {x} vpravo) ^ {2} + mu _ {y} ^ {2}}}}$,

${ displaystyle Gamma}$ je oběh, nalezeno pomocí Kutta podmínka, což se v tomto případě snižuje na

${ displaystyle Gamma = 4 pi V _ { infty} R sin vlevo ( alpha + sin ^ {- 1} { frac { mu _ {y}} {R}} vpravo).}$

Složitá rychlost ${ displaystyle W}$ kolem profilu křídla v ${ displaystyle z}$-rovina je podle pravidel konformního mapování a použití Joukowského transformace,

${ displaystyle W = { frac { widetilde {W}} { frac {dz} {d zeta}}} = { frac { widetilde {W}} {1 - { frac {1} { zeta ^ {2}}}}}.}$

Tady ${ displaystyle W = u_ {x} -iu_ {y},}$ s ${ displaystyle u_ {x}}$ a ${ displaystyle u_ {y}}$ složky rychlosti v ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ směrech (${ displaystyle z = x + iy,}$ s ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ skutečné hodnoty). Z této rychlosti vyplývají další zajímavé vlastnosti toku, například koeficient tlaku a výtah na jednotku rozpětí lze vypočítat.

Joukowsky profil křídla má hrot na zadní hraně.

Transformace je pojmenována po ruština vědec Nikolaj Žukovskij. Jeho jméno bylo historicky romanized v mnoha způsoby, tak variace pravopisu transformace.

Kármán – Trefftzova transformace

Příklad transformace Kármán – Trefftz. Kruh nahoře v ${ displaystyle zeta}$-letadlo se transformuje na profil křídla Kármán – Trefftz níže, v ${ displaystyle z}$-letadlo. Použité parametry jsou: ${ displaystyle mu _ {x} = - 0,08,}$ ${ displaystyle mu _ {y} = + 0,08}$ a ${ displaystyle n = 1,94.}$ Všimněte si, že profil křídla v ${ displaystyle z}$- letadlo bylo normalizováno pomocí akord délka.

The Kármán – Trefftzova transformace je konformní mapa úzce související s Joukowského transformací. Zatímco Joukowsky profil křídla má hrot odtokové hrany, a Profil křídla Kármán – Trefftz—Který je výsledkem transformace kruhu v ${ displaystyle zeta}$- letadlo k fyzickému ${ displaystyle z}$- letadlo, analogické k definici Joukowského profilu křídla - má nenulový úhel na zadní hraně mezi horním a dolním povrchem profilu křídla. Transformace Kármán – Trefftz proto vyžaduje další parametr: úhel zadní hrany ${ displaystyle alpha.}$ Tato transformace je^[2][3]

${ displaystyle z = nb { frac {( zeta + b) ^ {n} + ( zeta -b) ^ {n}} {( zeta + b) ^ {n} - ( zeta -b) ^ {n}}},}$

(A)

kde ${ displaystyle b}$ je skutečná konstanta, která určuje pozice, kde ${ displaystyle dz / d zeta = 0}$, a ${ displaystyle n}$ je o něco menší než 2. Úhel ${ displaystyle alpha}$ mezi tečny horního a dolního povrchu profilu křídla na zadní hraně souvisí s ${ displaystyle n}$ tak jako^[2]

${ displaystyle alpha = 2 pi -n pi, quad n = 2 - { frac { alpha} { pi}}.}$

Derivát ${ displaystyle dz / d zeta}$, požadované k výpočtu rychlostního pole, je

${ displaystyle { frac {dz} {d zeta}} = { frac {4n ^ {2}} { zeta ^ {2} -1}} { frac { vlevo (1 + { frac { 1} { zeta}} vpravo) ^ {n} vlevo (1 - { frac {1} { zeta}} vpravo) ^ {n}} { vlevo [ vlevo (1 + { frac {1} { zeta}} right) ^ {n} - left (1 - { frac {1} { zeta}} right) ^ {n} right] ^ {2}}}.}$

Pozadí

Nejprve přidejte a odečtěte 2 z Joukowského transformace, jak je uvedeno výše:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} z + 2 & = zeta +2 + { frac {1} { zeta}} = { frac {1} { zeta}} ( zeta +1) ^ {2 }, z-2 & = zeta -2 + { frac {1} { zeta}} = { frac {1} { zeta}} ( zeta -1) ^ {2}. end { zarovnaný}}}$

Rozdělení levé a pravé strany dává

${ displaystyle { frac {z-2} {z + 2}} = left ({ frac { zeta -1} { zeta +1}} right) ^ {2}.}$

The pravá strana obsahuje (jako faktor) jednoduchý zákon druhé moci z potenciální tok teorie, aplikovaná na zadní hraně blízko ${ displaystyle zeta = + 1.}$ Z teorie konformního mapování je známo, že tato kvadratická mapa mění poloviční rovinu v ${ displaystyle zeta}$-prostor do potenciálního toku kolem polo nekonečné přímky. Dále hodnoty výkonu menší než 2 budou mít za následek tok kolem konečného úhlu. Takže změnou síly v Joukowského transformaci na hodnotu o něco menší než 2 je výsledkem konečný úhel místo hrotu. Výměna 2 za ${ displaystyle n}$ v předchozí rovnici dává^[2]

${ displaystyle { frac {z-n} {z + n}} = left ({ frac { zeta -1} { zeta +1}} right) ^ {n},}$

což je transformace Kármán – Trefftz. Řešení pro ${ displaystyle z}$ dává to ve formě rovnice A.

Symetrické Joukowsky profily křídel

V roce 1943 Hsue-shen Tsien zveřejnil transformaci kruhu o poloměru ${ displaystyle a}$ do symetrického profilu křídla, který závisí na parametru ${ displaystyle epsilon}$ a úhel sklonu ${ displaystyle alpha}$:^[4]

${ displaystyle z = e ^ {i alpha} left ( zeta - epsilon + { frac {1} { zeta - epsilon}} + { frac {2 epsilon ^ {2}} {a + epsilon}} vpravo).}$

Parametr ${ displaystyle epsilon}$ získá rovnou desku, když je nula, a kruh, když je nekonečný; odpovídá tedy tloušťce profilu křídla.

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Joukowski Transformujte applet NASA
• Joukowsky Transform Interactive WebApp