Věta Jacobson – Bourbaki - Jacobson–Bourbaki theorem - Wikipedia

V algebře je Věta Jacobson – Bourbaki je věta, která se používá k rozšíření Galoisova teorie na rozšíření pole to nemusí být oddělitelné. To bylo představeno Nathan Jacobson  (1944 ) pro komutativní pole a rozšířeno o nekomutativní pole o Jacobson (1947), a Henri Cartan  (1947 ), který připsal výsledek nepublikované práci autorem Nicolas Bourbaki. Rozšíření Galoisovy teorie na normální rozšíření se nazývá Jacobson – Bourbaki korespondence, který nahrazuje korespondenci mezi některými podpole pole a některé podskupiny a Galoisova skupina korespondencí mezi některými dílčími kruhy a dělící prsten a nějaký subalgebry algebry.

Věta Jacobson – Bourbaki implikuje jak obvyklou Galoisovu korespondenci pro podpole Galoisovy rozšíření, tak Jacobsonovu Galoisovu korespondenci pro podpole a čistě neoddělitelné rozšíření exponentu nejvýše 1.

Prohlášení

Předpokládejme to L je dělící prsten Věta Jacobson – Bourbaki uvádí, že existuje přirozená korespondence 1: 1 mezi:

  • Divizní kroužky K. v L konečného indexu n (jinými slovy L je konečný trojrozměrný levý vektorový prostor K.).
  • Unital K.-algebry konečné dimenze n (tak jako K.-vektorové mezery) obsažené v kruhu endomorfismů aditivní skupiny K..

Dělicí kruh a odpovídající subalgebra jsou navzájem komutanty.

Jacobson (1956, Kapitola 7.2) poskytla rozšíření na dílčí dělení prstenů, které by mohly mít nekonečný index, který odpovídá uzavřeným subalgebrám v konečné topologii.

Reference

  • Cartan, Henri (1947), „Les principaux théorèmes de la théorie de Galois pour les corps non nécessairement commutatifs“, Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 224: 249–251, PAN  0020983
  • Cartan, Henri (1947), „Théorie de Galois pour les corps non commutatifs“, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 3, 64: 59–77, doi:10,24033 / asens.942, ISSN  0012-9593, PAN  0023237
  • Jacobson, Nathan (1944), „Galoisova teorie čistě neoddělitelných polí exponentu jedna“, American Journal of Mathematics, 66 (4): 645–648, doi:10.2307/2371772, ISSN  0002-9327, JSTOR  2371772, PAN  0011079
  • Jacobson, Nathan (1947), „Poznámka k dělícím prstenům“, American Journal of Mathematics, 69 (1): 27–36, doi:10.2307/2371651, ISSN  0002-9327, JSTOR  2371651, PAN  0020981
  • Jacobson, Nathan (1956), Struktura prstenů, American Mathematical Society, Colloquium Publications, 37„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-1037-8, PAN  0081264
  • Jacobson, Nathan (1964), Přednášky z abstraktní algebry. Svazek III: Teorie polí a Galoisova teorie, D. Van Nostrand Co., Inc., Princeton, N.J. - Toronto, Ont.- Londýn - New York, ISBN  978-0-387-90168-8, PAN  0172871
  • Kreimer, F. (2001) [1994], „Jacobson-Bourbaki_theorem“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS