Jacobiho transformace - Jacobi transform - Wikipedia V matematice Jacobiho transformace je integrální transformace pojmenoval podle matematika Carl Gustav Jacob Jacobi, který používá Jacobiho polynomy P n α , β ( X ) { displaystyle P_ {n} ^ { alpha, beta} (x)} jako jádra transformace.[1][2][3][4]Jacobiho transformace funkce F ( X ) { displaystyle F (x)} je[5] J { F ( X ) } = F α , β ( n ) = ∫ − 1 1 ( 1 − X ) α ( 1 + X ) β P n α , β ( X ) F ( X ) d X { displaystyle J {F (x) } = f ^ { alpha, beta} (n) = int _ {- 1} ^ {1} (1-x) ^ { alpha} (1 + x) ^ { beta} P_ {n} ^ { alpha, beta} (x) F (x) dx}Inverzní Jacobiho transformace je dána vztahem J − 1 { F α , β ( n ) } = F ( X ) = ∑ n = 0 ∞ 1 δ n F α , β ( n ) P n α , β ( X ) , kde δ n = 2 α + β + 1 Γ ( n + α + 1 ) Γ ( n + β + 1 ) n ! ( α + β + 2 n + 1 ) Γ ( n + α + β + 1 ) { displaystyle J ^ {- 1} {f ^ { alpha, beta} (n) } = F (x) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} { delta _ {n}}} f ^ { alpha, beta} (n) P_ {n} ^ { alpha, beta} (x), quad { text {kde}} quad delta _ {n} = { frac {2 ^ { alpha + beta +1} Gamma (n + alpha +1) Gamma (n + beta +1)} {n! ( alpha + beta + 2n +1) Gamma (n + alpha + beta +1)}}}Některé Jacobi transformují páry F ( X ) { displaystyle F (x) ,} F α , β ( n ) { displaystyle f ^ { alpha, beta} (n) ,} X m , m < n { displaystyle x ^ {m}, m 0 { displaystyle 0} X n { displaystyle x ^ {n} ,} n ! ( α + β + 2 n + 1 ) δ n { displaystyle n! ( alpha + beta + 2n + 1) delta _ {n}} P m α , β ( X ) { displaystyle P_ {m} ^ { alfa, beta} (x) ,} δ n δ m n { displaystyle delta _ {n} delta _ {mn}} ( 1 + X ) A − β { displaystyle (1 + x) ^ {a- beta} ,} ( n + α n ) 2 α + A + 1 Γ ( A + 1 ) Γ ( α + 1 ) Γ ( A − β + 1 ) Γ ( α + A + n + 2 ) Γ ( A − β + n + 1 ) { displaystyle { binom {n + alpha} {n}} 2 ^ { alpha + a + 1} { frac { gama (a + 1) gama ( alfa +1) gama (a- beta +1)} { Gamma ( alpha + a + n + 2) Gamma (a- beta + n + 1)}}} ( 1 − X ) σ − α , ℜ σ > − 1 { displaystyle (1-x) ^ { sigma - alpha}, Re sigma> -1 ,} 2 σ + β + 1 n ! Γ ( α − σ ) Γ ( σ + 1 ) Γ ( n + β + 1 ) Γ ( α − σ + n ) Γ ( β + σ + n + 2 ) { displaystyle { frac {2 ^ { sigma + beta +1}} {n! Gamma ( alpha - sigma)}} { frac { Gamma ( sigma +1) Gamma (n + beta +1) Gamma ( alpha - sigma + n)} { Gamma ( beta + sigma + n + 2)}}} ( 1 − X ) σ − β P m α , σ ( X ) , ℜ σ > − 1 { displaystyle (1-x) ^ { sigma - beta} P_ {m} ^ { alpha, sigma} (x), Re sigma> -1 ,} 2 α + σ + 1 m ! ( n − m ) ! Γ ( n + α + 1 ) Γ ( α + β + m + n + 1 ) Γ ( σ + m + 1 ) Γ ( α − β + 1 ) Γ ( α + β + n + 1 ) Γ ( α + σ + m + n + 2 ) Γ ( α − β + m + 1 ) { displaystyle { frac {2 ^ { alpha + sigma +1}} {m! (nm)!}} { frac { Gamma (n + alpha +1) Gamma ( alpha + beta + m + n + 1) Gamma ( sigma + m + 1) Gamma ( alpha - beta +1)} { Gamma ( alpha + beta + n + 1) Gamma ( alpha + sigma + m + n + 2) Gamma ( alpha - beta + m + 1)}}} 2 α + β Q − 1 ( 1 − z + Q ) − α ( 1 + z + Q ) − β , Q = ( 1 − 2 X z + z 2 ) 1 / 2 , | z | < 1 { displaystyle 2 ^ { alpha + beta} Q ^ {- 1} (1-z + Q) ^ {- alpha} (1 + z + Q) ^ {- beta}, Q = (1 -2xz + z ^ {2}) ^ {1/2}, | z | <1 ,} ∑ n = 0 ∞ δ n z n { displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} delta _ {n} z ^ {n}} ( 1 − X ) − α ( 1 + X ) − β d d X [ ( 1 − X ) α + 1 ( 1 + X ) β + 1 d d X ] F ( X ) { displaystyle (1-x) ^ {- alpha} (1 + x) ^ {- beta} { frac {d} {dx}} left [(1-x) ^ { alpha +1} (1 + x) ^ { beta +1} { frac {d} {dx}} vpravo] F (x) ,} − n ( n + α + β + 1 ) F α , β ( n ) { displaystyle -n (n + alpha + beta +1) f ^ { alpha, beta} (n)} { ( 1 − X ) − α ( 1 + X ) − β d d X [ ( 1 − X ) α + 1 ( 1 + X ) β + 1 d d X ] } k F ( X ) { displaystyle left {(1-x) ^ {- alpha} (1 + x) ^ {- beta} { frac {d} {dx}} left [(1-x) ^ { alfa +1} (1 + x) ^ { beta +1} { frac {d} {dx}} doprava] doprava } ^ {k} F (x) ,} ( − 1 ) k n k ( n + α + β + 1 ) k F α , β ( n ) { displaystyle (-1) ^ {k} n ^ {k} (n + alpha + beta +1) ^ {k} f ^ { alpha, beta} (n)}Reference^ Debnath, L. „O Jacobiho transformaci.“ Býk. CAL. Matematika. Soc 55,3 (1963): 113-120.^ Debnath, L. „ŘEŠENÍ ČÁSTEČNÝCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC JACOBI TRANSFORMOU.“ BULLETIN MATEMATICKÉ SPOLEČNOSTI CALCUTTA 59,3-4 (1967): 155.^ Scott, E. J. „Jacobi se transformuje.“ (1953).^ Shen, Jie; Wang, Yingwei; Xia, Jianlin (2019). „Rychle strukturované transformace Jacobi-Jacobi“. Matematika. Comp. 88 (318): 1743–1772. doi:10,1090 / mcom / 3377.^ Debnath, Lokenath a Dambaru Bhatta. Integrální transformace a jejich aplikace. CRC tisk, 2014.
![{ displaystyle (1-x) ^ {- alpha} (1 + x) ^ {- beta} { frac {d} {dx}} left [(1-x) ^ { alpha +1} (1 + x) ^ { beta +1} { frac {d} {dx}} vpravo] F (x) ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf3f023f7d443653e8a4664e7c2e71e76cb4e07)
![{ displaystyle left {(1-x) ^ {- alpha} (1 + x) ^ {- beta} { frac {d} {dx}} left [(1-x) ^ { alfa +1} (1 + x) ^ { beta +1} { frac {d} {dx}} doprava] doprava } ^ {k} F (x) ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f37708dcabf8079699227184c4cbfbcac88a868d)
