Funkce Invex - Invex function

v vektorový počet, an funkce invex je diferencovatelná funkce ${ displaystyle f}$ z ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ na ${ displaystyle mathbb {R}}$ pro které existuje funkce s vektorovou hodnotou ${ displaystyle eta}$ takhle

${ Displaystyle f (x) -f (u) geq eta (x, u) cdot nabla f (u), ,}$

pro všechny X a u.

Funkce Invex zavedl Hanson jako zobecnění konvexní funkce.^[1] Ben-Israel a Mond poskytli jednoduchý důkaz, že funkce je invexní právě tehdy, když každá stacionární bod je globální minimum, teorém, který poprvé uvedli Craven a Glover.^[2][3]

Hanson také ukázal, že pokud cíl a omezení z optimalizační problém jsou invex s ohledem na stejnou funkci ${ displaystyle eta (x, u)}$, pak Karush – Kuhn – Tuckerovy podmínky jsou dostatečné pro globální minimum.

Invexní funkce typu I.

Mírné zobecnění funkcí invex nazývá Invexní funkce typu I. jsou nejobecnější třídou funkcí, pro které Karush – Kuhn – Tuckerovy podmínky jsou nezbytné a dostatečné pro globální minimum.^[4] Zvažte matematický program formuláře

${ displaystyle { begin {pole} {rl} min & f (x) { text {s.t.}} & g (x) leq 0 end {pole}}}$

kde ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}}$ a ${ displaystyle g: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {m}}$jsou rozlišitelné funkce. Nechat ${ displaystyle F = {x v mathbb {R} ^ {n} ; | ; g (x) leq 0 }}$označují proveditelnou oblast tohoto programu. Funkce ${ displaystyle f}$ je Typ I. Objektivní funkce a funkce ${ displaystyle g}$ je Funkce omezení typu I. na ${ displaystyle x_ {0}}$s ohledem na ${ displaystyle eta}$ pokud existuje funkce s vektorovou hodnotou ${ displaystyle eta}$ definováno dne ${ displaystyle F}$ takhle

${ displaystyle f (x) -f (x_ {0}) geq eta (x) cdot nabla {f (x_ {0})}}$

a

${ displaystyle -g (x_ {0}) geq eta (x) cdot nabla {g (x_ {0})}}$

pro všechny ${ displaystyle x v {F}}$.^[5] Všimněte si, že na rozdíl od nevinnosti je nevinnost typu I definována relativně k bodu ${ displaystyle x_ {0}}$.

Věta (Věta 2.1 v^[4]): Li ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle g}$ jsou v určitém okamžiku invexní ${ displaystyle x ^ {*}}$s ohledem na ${ displaystyle eta}$a Karush – Kuhn – Tuckerovy podmínky jsou spokojeni v ${ displaystyle x ^ {*}}$, pak ${ displaystyle x ^ {*}}$je globální minimalizátor ${ displaystyle f}$ přes ${ displaystyle F}$.

Viz také

• Konvexní funkce
• Pseudokonvexní funkce
• Kvazikonvexní funkce

Reference

Další čtení

S. K. Mishra a G. Giorgi, Invexity and optimization, Nonconvex optimization and its Applications, sv. 88, Springer-Verlag, Berlín, 2008.

S. K. Mishra, S.-Y. Wang a K. K. Lai, Generalized Convexity and Vector Optimization, Springer, New York, 2009.