Integrodiferenční rovnice - Integrodifference equation

v matematika, an integrodiferenční rovnice je relace opakování na funkční prostor, v následující podobě:

${displaystyle n_ {t + 1} (x) = int _ {Omega} k (x, y), f (n_ {t} (y)), dy,}$

kde ${displaystyle {n_ {t}},}$ je sekvence ve funkčním prostoru a ${displaystyle Omega,}$ je doménou těchto funkcí. Ve většině aplikací pro všechny ${displaystyle yin Omega,}$, ${displaystyle k (x, y),}$ je funkce hustoty pravděpodobnosti na ${displaystyle Omega,}$. Všimněte si, že ve výše uvedené definici ${displaystyle n_ {t}}$ může být vektor oceněn, v takovém případě každý prvek z ${displaystyle {n_ {t}}}$ má spojenou skalární hodnotovou integrodiferenční rovnici. Integrodiferenční rovnice jsou široce používány v matematická biologie, zvláště teoretická ekologie, modelovat rozptýlení a růst populace. V tomto případě, ${displaystyle n_ {t} (x)}$ je velikost populace nebo hustota v dané lokalitě ${displaystyle x}$ v čase ${displaystyle t}$, ${displaystyle f (n_ {t} (x))}$ popisuje růst místní populace v dané lokalitě ${displaystyle x}$ a ${displaystyle k (x, y)}$, je pravděpodobnost pohybu z bodu ${displaystyle y}$ ukazovat ${displaystyle x}$, často označované jako disperzní jádro. K popisu se nejčastěji používají integrodiferenční rovnice univoltin populace, mimo jiné včetně mnoha členovců a jednoletých druhů rostlin. Multivoltinové populace však lze modelovat také pomocí integrodiferenčních rovnic,^[1] pokud má organismus nepřekrývající se generace. V tomto případě, ${displaystyle t}$ se neměřuje v letech, ale spíše v časovém přírůstku mezi potomky.

Konvoluční jádra a rychlosti invaze

V jedné prostorové dimenzi disperzní jádro často závisí pouze na vzdálenosti mezi zdrojem a cílem a lze jej zapsat jako ${displaystyle k (x-y)}$. V tomto případě některé přírodní podmínky na f a k naznačují, že existuje dobře definovaná rychlost šíření invazních vln generovaných z kompaktních počátečních podmínek. Rychlost vlny se často vypočítává studiem linearizované rovnice

${displaystyle n_ {t + 1} = int _ {- infty} ^ {infty} k (x-y) Rn_ {t} (y) dy}$

kde ${displaystyle R = df / dn (n = 0)}$To lze napsat jako konvoluci

${displaystyle n_ {t + 1} = f '(0) k * n_ {t}}$

Pomocí transformace funkce generování momentů

${displaystyle M (s) = int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {sx} n (x) dx}$

bylo prokázáno, že kritická rychlost vlny

${displaystyle c ^ {*} = min _ {w> 0} vlevo [{frac {1} {w}} vlevo (Rint _ {- infty} ^ {infty} k (s) e ^ {ws} dsight) večer]}$

Jiné typy rovnic používaných k modelování populační dynamika vesmírem zahrnout reakce-difúze rovnice a metapopulace rovnice. Difúzní rovnice však tak snadno neumožňují zahrnutí explicitních vzorců rozptýlení a jsou biologicky přesné pouze pro populace s překrývajícími se generacemi.^[2] Metapopulační rovnice se liší od rovnic integrodiferenční v tom, že rozkládají populaci spíše na diskrétní části než na souvislou krajinu.

Reference