Test informační matice - Information matrix test - Wikipedia

v ekonometrie, test informační matice se používá k určení, zda a regresní model je upřesněno. Test byl vyvinut společností Halbert White,^[1] který zjistil, že ve správně specifikovaném modelu a za standardních předpokladů pravidelnosti Fisherova informační matice lze vyjádřit dvěma způsoby: jako vnější produkt z spád, nebo jako funkce Hesenská matice funkce logaritmické pravděpodobnosti.

Zvažte lineární model ${ displaystyle mathbf {y} = mathbf {X} mathbf { beta} + mathbf {u}}$, kde jsou chyby ${ displaystyle mathbf {u}}$ se předpokládá, že jsou distribuovány ${ displaystyle mathrm {N} (0, sigma ^ {2} mathbf {I})}$. Pokud parametry ${ displaystyle beta}$ a ${ displaystyle sigma ^ {2}}$ jsou skládány ve vektoru ${ displaystyle mathbf { theta} ^ { mathsf {T}} = { begin {bmatrix} beta & sigma ^ {2} end {bmatrix}}}$, výsledný funkce log-likelihood je

${ displaystyle ell ( mathbf { theta}) = - { frac {n} {2}} log sigma ^ {2} - { frac {1} {2 sigma ^ {2}}} left ( mathbf {y} - mathbf {X} mathbf { beta} right) ^ { mathsf {T}} left ( mathbf {y} - mathbf {X} mathbf { beta } že jo)}$

Informační matici lze poté vyjádřit jako

${ displaystyle mathbf {I} ( mathbf { theta}) = operatorname {E} left [ left ({ frac { částečné ell ( mathbf { theta})} { částečné mathbf { theta}}} vpravo) vlevo ({ frac { částečné ell ( mathbf { theta})} { částečné mathbf { theta}}} pravé) ^ { mathsf {T} }že jo]}$

to je očekávaná hodnota vnějšího produktu přechodu nebo skóre. Zadruhé jej lze zapsat jako negativ hesenské matice funkce logaritmické pravděpodobnosti

${ displaystyle mathbf {I} ( mathbf { theta}) = - operatorname {E} left [{ frac { částečné ^ {2} ell ( mathbf { theta})} { částečné mathbf { theta} , částečné mathbf { theta} ^ { mathsf {T}}}} vpravo]}$

Pokud je model správně zadán, oba výrazy by měly být stejné. Kombinace ekvivalentních forem poskytuje výnosy

${ displaystyle mathbf { Delta} ( mathbf { theta}) = součet _ {i = 1} ^ {n} vlevo [{ frac { částečné ^ {2} ell ( mathbf { theta})} { částečné mathbf { theta} , částečné mathbf { theta} ^ { mathsf {T}}}} + { frac { částečné ell ( mathbf { theta}) } { částečné mathbf { theta}}} { frac { částečné ell ( mathbf { theta})} { částečné mathbf { theta}}} vpravo]}$

kde ${ displaystyle mathbf { Delta} ( mathbf { theta})}$ je ${ displaystyle (r krát r)}$ náhodná matice, kde ${ displaystyle r}$ je počet parametrů. White ukázal, že prvky ${ displaystyle n ^ {- 1/2} mathbf { Delta} ( mathbf { hat { theta}})}$, kde ${ displaystyle mathbf { hat { theta}}}$ je MLE, jsou asymptoticky normálně distribuováno s nulou znamená, když je model správně zadán.^[2] U malých vzorků však test obecně funguje špatně.^[3]

Reference

Další čtení

• Krämer, W .; Sonnberger, H. (1986). Testovaný model lineární regrese. Heidelberg: Physica-Verlag. 105–110. ISBN  3-7908-0356-1.
• White, Halbert (1994). "Testování matice informací". Odhad, závěr a analýza specifikací. New York: Cambridge University Press. 300–344. ISBN  0-521-25280-6.