Problém stovek ptáků - Hundred Fowls Problem

The Problém stovek ptáků je problém poprvé diskutovaný v pátém století n. l Čínská matematika text Zhang Qiujian suanjing (Matematická klasika Zhang Qiujian), kniha matematických problémů napsaná Zhang Qiujian. Je to jeden z nejznámějších příkladů neurčitých problémů v rané historii matematiky.^[1] Problém se objeví jako poslední problém v Zhang Qiujian suanjing (Problém 38 v kapitole 3). Problém a jeho varianty se však objevily ve středověké matematické literatuře Indie, Evropy a arabského světa.^[2]

Název „Problém se stovkami ptáků“ má na svědomí belgický historik Louis van Hee.^[3]

Problémové prohlášení

Problém stovek ptáků, jak je uveden v Zhang Qiujian suanjing lze přeložit takto:^[4]

"Nyní má jeden kohout hodnotu 5 qian, jedna slepice 3 qian a 3 kuřata 1 qian. Je nutné koupit 100 drůbež se 100 qian. V každém případě najděte počet nakoupených kohoutů, slepic a kuřat."

Matematická formulace

Nechat X být počet kohoutů, y být počet slepic a z být počet kuřat, pak je problém najít X, y a z splňující následující rovnice:

X + y +z = 100

5X + 3y + z/3 = 100

Je zřejmé, že jsou přijatelné pouze nezáporné celočíselné hodnoty. Vyjadřování y a z ve smyslu X dostaneme

y = 25 − (7/4)X

z = 75 + (3/4)X

Od té doby X, y a z všechna musí být celá čísla, výraz pro y to naznačuje X musí být násobkem 4. Obecné řešení soustavy rovnic lze tedy vyjádřit pomocí celočíselného parametru t jak následuje:^[5]

X = 4t

y = 25 − 7t

z = 75 + 3t

Od té doby y by mělo být nezáporné celé číslo, jediné možné hodnoty t jsou 0, 1, 2 a 3. Takže úplná sada řešení je dána vztahem

(X,y,z) = (0,25,75), (4,18,78), (8,11,81), (12,4,84).

z nichž poslední tři byly uvedeny v Zhang Qiujian suanjing.^[3] Nebyla však uvedena žádná obecná metoda řešení těchto problémů, což by vedlo k podezření, zda byla řešení získána metodou pokusu a omylu.^[1]

Problém Sto ptáků nalezen v Zhang Qiujian suanjing je speciální případ obecného problému hledání celočíselných řešení následující soustavy rovnic:

X + y + z = d

sekera + podle + cz = d

Jakýkoli problém tohoto typu se někdy označuje jako „problém se stovkami ptáků“.^[3]

Variace

Některé varianty problému Sto ptáků se objevily v matematické literatuře několika kultur.^[1][2] V následujícím textu uvádíme několik ukázkových problémů diskutovaných v těchto kulturách.

Indická matematika

Mahavira je Ganita-sara-sangraha obsahuje následující problém:

Holubi se prodávají v poměru 5 za 3, sarasa-ptáci v poměru 7 za 5, labutě v poměru 9 za 7 a pávi v poměru 3 za 9 (panas). Určitému muži bylo řečeno, aby přinesl 100 ptáků za 100 panas. Co dává za každý z různých druhů ptáků, které kupuje?

The Bakshali rukopis dává problém řešení následujících rovnic:

X + y + z = 20

3X + (3/2)y + (1/2)z = 20

Středověká Evropa

Anglický matematik Alkuin York (8. století, c. 735–19. května 804 n. l.) uvedl sedm problémů podobných problému Sto ptáků v jeho Propositiones ad acuendos iuvenes. Zde je typický problém:

Pokud je 100 bušlů kukuřice rozděleno mezi 100 lidí tak, že každý muž dostane 3 bušlů, každá žena 2 bušlů a každé dítě půl bušlu, pak kolik mužů, žen a dětí tam bylo?

Arabská matematika

Abu Kamil (850 - 930 nl) považována za nezáporná celočíselná řešení následujících rovnic:

X + y + z = 100

3X + (/20)y+ (1/3)z = 100.

Reference