Homoklinické spojení - Homoclinic connection

Homoklinická, heteroklinická spojení a křižovatky.

v dynamické systémy, pobočka matematika, struktura vytvořená z stabilní potrubí a nestabilní potrubí a pevný bod.

Definice pro mapy

Nechat ${ displaystyle f: M až M}$ být mapa definované na potrubí ${ displaystyle M}$ , s pevným bodem ${ displaystyle p}$ .Nechat ${ displaystyle W ^ {s} (f, p)}$ a ${ displaystyle W ^ {u} (f, p)}$ být stabilní potrubí a nestabilní potrubí pevného bodu ${ displaystyle p}$ , resp. Nechat ${ displaystyle V}$ být připojeno invariantní potrubí takhle

{ displaystyle V subseteq W ^ {s} (f, p) cap W ^ {u} (f, p)}

Pak ${ displaystyle V}$ se nazývá a homoklinické spojení.

Heteroklinické spojení

Jedná se o podobný pojem, ale odkazuje na dva pevné body, ${ displaystyle p}$ a ${ displaystyle q}$ . Podmínka splněna ${ displaystyle V}$ se nahrazuje tímto:

{ displaystyle V subseteq W ^ {s} (f, p) čepice W ^ {u} (f, q)}

Tato představa je není symetrický s ohledem na ${ displaystyle p}$ a ${ displaystyle q}$ .

Homoklinické a heteroclinické křižovatky

Když invariantní potrubí ${ displaystyle W ^ {s} (f, p)}$ a ${ displaystyle W ^ {u} (f, q)}$ , případně s ${ displaystyle p = q}$ , protínají se, ale neexistuje homoklinické / heteroclinické spojení, rozdílnou strukturu tvoří dvě různá potrubí, někdy označovaná jako homoklinická / heteroclinická spleť. Obrázek má koncepční výkres ilustrující jejich komplikovanou strukturu. Teoretickým výsledkem podporujícím kresbu je lambda-lema. Homoklinické spletence jsou vždy doprovázeny a Smale podkova.

Definice pro spojité toky

Pro kontinuální proudí, definice je v zásadě stejná.

Komentáře

V různých publikacích existují určité rozdíly v definici;
Historicky prvním zvažovaným případem byl případ nepřetržitého toku na letadlo, vyvolané an obyčejná diferenciální rovnice. V tomto případě je homoklinické spojení jediné trajektorie který konverguje k pevnému bodu ${ displaystyle p}$ dopředu i dozadu v čase. A kyvadlo v nepřítomnosti tření je příklad mechanického systému, který má homoklinické spojení. Když se kyvadlo uvolní z horní polohy (bodu nejvyšší potenciální energie), s nekonečně malou rychlostí se kyvadlo vrátí do stejné polohy. Po návratu bude mít přesně stejnou rychlost. Doba potřebná k návratu se zvýší na ${ displaystyle infty}$ protože počáteční rychlost jde na nulu. Jedna z demonstrací v EU kyvadlo článek vykazuje toto chování.

Význam

Když je dynamický systém narušen, homoklinické spojení rozdělí se. Stává se to odpojen invariantní množina. V jeho blízkosti bude chaotická sada zvaná Smaleova podkova. Existence homoklinického spojení tedy může potenciálně vést chaos. Například když je kyvadlo umístěno do skříňky a skříň je vystavena malým vodorovným oscilacím, může kyvadlo vykazovat chaotické chování.