Hjelmslevova transformace - Hjelmslev transformation
 | tento článek ne uvést žádný Zdroje. (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) |
v matematika, Hjelmslevova transformace je efektivní metoda pro mapování celý hyperbolická rovina do kruh s konečnou poloměr. Transformaci vynalezl dánský matematik Johannes Hjelmslev. Využívá to Nikolaj Ivanovič Lobačevskij 23. věta z jeho práce Geometrická vyšetřování teorie rovnoběžek.
Lobachevskij pomocí kombinace 16. a 23. věty poznamenává, že jde o základní charakteristiku hyperbolická geometrie že musí existovat výrazný úhel rovnoběžnosti pro danou délku čáry. Řekněme, že pro délku AE je jeho úhel rovnoběžnosti úhel BAF. V tomto případě bude linka AH a EJ hyperparalelní, a proto se nikdy nesetká. V důsledku toho musí každá čára nakreslená kolmo k základně AE mezi A a E nutně protínat čáru AH v určité konečné vzdálenosti. Johannes Hjelmslev objevil z toho způsob komprese celé hyperbolické roviny do konečného kruhu. Použitím tohoto procesu na každou přímku v rovině by bylo možné tuto rovinu komprimovat tak, aby nekonečné prostory mohly být považovány za rovinné. Hjelmslevova transformace by však nepřinesla pořádný kruh. Obvod kruhu nemá odpovídající umístění v rovině, a proto se produkt Hjelmslevovy transformace výstižněji nazývá a Disk Hjelmslev. Podobně, když je tato transformace rozšířena ve všech třech dimenzích, označuje se jako a Hjelmslev Ball.
Existuje několik vlastností, které jsou zachovány transformací, které umožňují z nich zjistit cenné informace, jmenovitě:
- Obrázek kruhu sdílejícího střed transformace bude kruh kolem stejného středu.
- Ve výsledku budou obrazy všech pravých úhlů s jednou stranou procházejícími středem pravých úhlů.
- Jakýkoli úhel se středem transformace jako vrcholem bude zachován.
- Obrázek jakékoli přímky bude konečný přímkový segment.
- Podobně se pořadí bodů udržuje po celou dobu transformace, tj. Pokud je B mezi A a C, obraz B bude mezi obrazem A a obrazem C.
- Obraz přímočarého úhlu je přímkový úhel.
Hjelmslevova transformace a Kleinův model
Pokud reprezentujeme hyperbolický prostor pomocí Klein model, a vzít střed Hjelmslevovy transformace jako středový bod Kleinova modelu, pak Hjelmslevova transformace mapuje body na jednotkovém disku na body na disku se středem v počátku s poloměrem menším než jeden. Vzhledem k reálnému číslu k je Hjelmslevova transformace, pokud ignorujeme rotace, ve skutečnosti to, co získáme mapováním vektoru u představujícího bod v Kleinově modelu toku s 0