Hjelmslevsova věta - Hjelmslevs theorem - Wikipedia

Trojice červených bodů na dvou černých čarách mají stejné vzdálenosti v každé trojici, takže podle Hjelmslevovy věty jsou tři středy odpovídajících dvojic bodů na jedné (zelené) linii.

v geometrie, Hjelmslevova věta, pojmenoval podle Johannes Hjelmslev, je tvrzení, že pokud jsou body P, Q, R ... na přímce izometricky namapované na body P´, Q´, R´ ... jiné přímky ve stejné rovině, pak středy segmentů PP´, QQ´, RR´ ... leží také na přímce.

Důkaz je snadný, pokud se předpokládá klasifikace roviny izometrie. Pokud je daná izometrie lichá, v takovém případě se nutně jedná buď o odraz v přímce, nebo o klouzavý odraz (součin tří odrazů v přímce a dvou na ni kolmých), pak je tvrzení pravdivé pro všechny body v rovina vůbec: střed PP´ leží na ose (klouzavého) odrazu pro libovolné P. Pokud je izometrie sudá, komponujte ji s odrazem v přímce PQR a získáte lichou izometrii se stejným účinkem na P, Q R ... a použijte předchozí poznámku.

Důležitost věty spočívá ve skutečnosti, že má jiný důkaz ne předpokládat paralelní postulát a je tedy platný v neeuklidovská geometrie také. S jeho pomocí mapování, které mapuje každý bod P roviny do středu segmentu P´P´´, kde P´a P´´ jsou obrazy P pod a otáčení (v obou směrech) daným ostrým úhlem kolem daného středu, je považována za kolineaci mapující celek hyperbolická rovina způsobem 1-1 na vnitřní stranu disku, což poskytuje dobrou intuitivní představu o lineární struktuře hyperbolické roviny. Ve skutečnosti se tomu říká Hjelmslevova transformace.

Reference

  • Martin, George E. (1998), Základy geometrie a neeuklidovské roviny, Pregraduální texty z matematiky (3. vyd.), Springer-Verlag, str.384, ISBN  978-0-387-90694-2.

externí odkazy