Funkce Hilbert – Kunz - Hilbert–Kunz function

v algebra, Funkce Hilbert – Kunz a místní prsten (R, m) z primární charakteristický p je funkce

${ displaystyle f (q) = operatorname {délka} _ {R} (R / m ^ {[q]})}$

kde q je síla p a m^[q] je ideál generované q-té pravomoci prvků maximální ideál m.^[1]

Pojem představil Ernst Kunz, který ji použil k charakterizaci a pravidelné zvonění jako Noetherian ring ve kterém Frobeniův morfismus je byt. Pokud d je rozměr místního kruhu, Monsky ukázal, že f (q) / (q ^ d) je c + O (1 / q) pro nějakou skutečnou konstantu c. Tato konstanta, „multiplicita“ „Hilberta-Kunze“, je větší nebo rovna 1. Watanabe a Yoshida posílily některé z Kunzových výsledků, což ukazuje, že v nemíseném případě je prstenec pravidelný přesně tehdy, když c = 1.

Funkce a multiplicity Hilberta – Kunze byly studovány pro jejich vlastní účely. Brenner a Trivedi zpracovali místní prstence pocházející z homogenních souřadných prstenců hladkých projektivních křivek pomocí technik z algebraické geometrie. Han, Monsky a Teixeira ošetřili diagonální hyperplochy a různé související hyperplochy. Neexistuje však žádná známá technika pro stanovení Hilbertovy-Kunzovy funkce nebo c obecně. Zejména otázka, zda je c vždy racionální, nebyla donedávna vyřešena (Brennerem - nemusí být a skutečně může být transcendentální). Hochster a Huneke spojili multiplicity Hilberta-Kunze s „těsným uzavřením“ a Brenner a Monsky využili funkce Hilberta – Kunze k prokázání, že lokalizace nemusí zachovávat těsné uzavření. Pozornosti byla věnována také otázka, jak se chová c jako charakteristika, jde do nekonečna (řekněme pro nadpovrch definovaný polynomem s celočíselnými koeficienty); Opět existuje mnoho otevřených otázek.

Komplexní přehled naleznete v článku Craiga Hunekeho „Hilbert-Kunzovy multiplicity a F-podpis“ arXiv: 1409.0467. Tento článek se také nachází na stranách 485–525 svazku Springer „Commutative Algebra: Expository Papers věnovaný Davidu Eisenbudovi u příležitosti jeho 65. narozenin“, editoval Irena Peeva.

Reference

Bibliografie

• E. Kunz, „Na noetherianských prstencích charakteristického p,“ Am. J. Math, 98, (1976), 999–1013. 1
• Edward Miller, Lance; Swanson, Irena (2012). "Hilbert-Kunzovy funkce 2 x 2 determinantních kruhů". arXiv:1206.1015.

Tento algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.