Helly metrická - Helly metric

v herní teorie, k hodnocení vzdálenosti mezi dvěma se používá metrika Helly strategií. Je pojmenován pro Eduard Helly.

Zvažte hru ${ displaystyle Gamma = left langle { mathfrak {X}}, { mathfrak {Y}}, H right rangle}$mezi hráčem I a II. Tady, ${ displaystyle { mathfrak {X}}}$ a ${ displaystyle { mathfrak {Y}}}$ jsou sady čisté strategie pro hráče I a II; a ${ displaystyle H = H ( cdot, cdot)}$ je funkce výplaty.

(jinými slovy, pokud hraje hráč I ${ displaystyle x in { mathfrak {X}}}$ a hráč II hraje ${ displaystyle y in { mathfrak {Y}}}$, pak platí hráč ${ displaystyle H (x, y)}$ hráči II).

The Helly metrická ${ displaystyle rho (x_ {1}, x_ {2})}$ je definován jako

${ displaystyle rho (x_ {1}, x_ {2}) = sup _ {y in { mathfrak {Y}}} vlevo | H (x_ {1}, y) -H (x_ {2 }, y) vpravo |.}$

Takto definovaná metrika je symetrická, reflexivní a splňuje nerovnost trojúhelníku.

Metrika Helly měří vzdálenosti mezi strategiemi, nikoli z hlediska rozdílů mezi samotnými strategiemi, ale z hlediska důsledků strategií. Dvě strategie jsou vzdálené, pokud se jejich výplaty liší. Všimněte si, že ${ displaystyle rho (x_ {1}, x_ {2}) = 0}$ neznamená ${ displaystyle x_ {1} = x_ {2}}$ ale to znamená, že důsledky z ${ displaystyle x_ {1}}$ a ${ displaystyle x_ {2}}$ jsou identické; a skutečně to indukuje vztah ekvivalence.

Pokud to někdo stanoví ${ displaystyle rho (x_ {1}, x_ {2}) = 0}$ naznačuje ${ displaystyle x_ {1} = x_ {2}}$ pak se takto indukovaná topologie nazývá přírodní topologie.

Metrika prostoru strategií hráče II je analogická:

${ displaystyle rho (y_ {1}, y_ {2}) = sup _ {x in { mathfrak {X}}} vlevo | H (x, y_ {1}) - H (x, y_ {2}) vpravo |.}$

Všimněte si, že ${ displaystyle Gamma}$ tak definuje dva Helly metrics: jedna pro strategický prostor každého hráče.

Podmíněná kompaktnost

Připomeňme si definici ${ displaystyle epsilon}$-net: Sada ${ displaystyle X _ { epsilon}}$ je ${ displaystyle epsilon}$-net v prostoru ${ displaystyle X}$ s metrikou ${ displaystyle rho}$ pokud pro nějaké ${ displaystyle x v X}$ tady existuje ${ displaystyle x _ { epsilon} v X _ { epsilon}}$ s ${ displaystyle rho (x, x _ { epsilon}) < epsilon}$.

Metrický prostor ${ displaystyle P}$ je podmíněně kompaktní (nebo precompact), pokud existuje ${ displaystyle epsilon> 0}$ existuje a konečný ${ displaystyle epsilon}$-net dovnitř ${ displaystyle P}$. Každá hra, která je v metrice Helly podmíněně kompaktní, má ${ displaystyle epsilon}$-optimální strategie pro všechny ${ displaystyle epsilon> 0}$. Navíc, pokud je prostor strategií pro jednoho hráče podmíněně kompaktní, pak je prostor strategií pro druhého hráče podmíněně kompaktní (v jejich metrice Helly).

Reference

N.N. Vorob'ev 1977. Přednášky teorie her pro ekonomy a systémové vědce. Springer-Verlag (přeložil S. Kotz).

Tento herní teorie článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.