Harmonická vlnková transformace - Harmonic wavelet transform

V matematika z zpracování signálu, harmonická vlnková transformace, představil David Edward Newland v roce 1993, je vlnka lineární transformace dané funkce na a časově-frekvenční reprezentace. Kombinuje výhody krátkodobá Fourierova transformace a spojitá waveletová transformace. Lze to vyjádřit opakováním Fourierovy transformace a jeho diskrétní analog lze efektivně vypočítat pomocí a rychlá Fourierova transformace algoritmus.

Harmonické vlnky

Transformace využívá rodinu „harmonických“ vlnek indexovaných dvěma celými čísly j („úroveň“ nebo „objednávka“) a k (dále jen "překlad") daný autorem ${displaystyle w (2 ^ {j} t-k)!}$, kde

${displaystyle w (t) = {frac {e ^ {i4pi t} -e ^ {i2pi t}} {i2pi t}}.}$

Tyto funkce jsou ortogonální a jejich Fourierovy transformace jsou čtverce funkce okna (konstantní v určitém oktávovém pásmu a nula jinde). Splňují zejména:

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} w ^ {*} (2 ^ {j} tk) cdot w (2 ^ {j '} t-k'), dt = {frac {1} {2 ^ {j}}} delta _ {j, j '} delta _ {k, k'}}$

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} w (2 ^ {j} t-k) cdot w (2 ^ {j '} t-k'), dt = 0}$

kde „*“ označuje komplexní konjugace a ${displaystyle delta}$ je Kroneckerova delta.

Na objednávku j zvyšuje se tyto vlnky více lokalizují ve Fourierově prostoru (frekvenci) a ve vyšších frekvenčních pásmech a naopak se méně lokalizují v čase (t). Proto, když jsou použity jako základ pro rozšíření libovolné funkce představují chování funkce v různých časových stupních (a v různých časových posunech pro různé k).

Je však možné kombinovat všechny negativní objednávky (j <0) společně do jedné rodiny funkcí „škálování“ ${displaystyle varphi (t-k)}$ kde

${displaystyle varphi (t) = {frac {e ^ {i2pi t} -1} {i2pi t}}.}$

Funkce φ je k sobě kolmý pro různé k a je také kolmý k vlnkovým funkcím pro nezáporné j:

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} varphi ^ {*} (t-k) cdot varphi (t-k '), dt = delta _ {k, k'}}$

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} w ^ {*} (2 ^ {j} t-k) cdot varphi (t-k '), dt = 0 {ext {for}} jgeq 0}$

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} varphi (t-k) cdot varphi (t-k '), dt = 0}$

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} w (2 ^ {j} t-k) cdot varphi (t-k '), dt = 0 {ext {for}} jgeq 0.}$

V harmonické vlnkové transformaci je tedy libovolná funkce se skutečnou nebo komplexní hodnotou ${displaystyle f (t)}$ (v L2 ) je rozšířen na základě harmonických vlnek (pro všechna celá čísla.) j) a jejich komplexní konjugáty:

${displaystyle f (t) = součet _ {j = -infty} ^ {infty} součet _ {k = -infty} ^ {infty} vlevo [a_ {j, k} w (2 ^ {j} tk) + { ilde {a}} _ {j, k} w ^ {*} (2 ^ {j} tk) ight],}$

nebo alternativně na základě vlnek pro nezáporné j doplněné o funkce škálování φ:

${displaystyle f (t) = součet _ {k = -infty} ^ {infty} vlevo [a_ {k} varphi (tk) + {ilde {a}} _ {k} varphi ^ {*} (tk) ight] + součet _ {j = 0} ^ {infty} součet _ {k = -infty} ^ {infty} vlevo [a_ {j, k} w (2 ^ {j} tk) + {ilde {a}} _ { j, k} w ^ {*} (2 ^ {j} tk) vpravo].}$

Koeficienty roztažnosti lze poté v zásadě vypočítat pomocí vztahů ortogonality:

${displaystyle {egin {aligned} a_ {j, k} & {} = 2 ^ {j} int _ {- infty} ^ {infty} f (t) cdot w ^ {*} (2 ^ {j} tk) , dt {ilde {a}} _ {j, k} & {} = 2 ^ {j} int _ {- infty} ^ {infty} f (t) cdot w (2 ^ {j} tk), dt a_ {k} & {} = int _ {- infty} ^ {infty} f (t) cdot varphi ^ {*} (tk), dt {ilde {a}} _ {k} & {} = int _ {- infty} ^ {infty} f (t) cdot varphi (tk), dt.end {zarovnáno}}}$

Pro funkci se skutečnou hodnotou F(t), ${displaystyle {ilde {a}} _ {j, k} = a_ {j, k} ^ {*}}$ a ${displaystyle {ilde {a}} _ {k} = a_ {k} ^ {*}}$ takže lze snížit počet nezávislých koeficientů expanze na polovinu.

Toto rozšíření má obdobnou vlastnost Parsevalova věta, že:

${displaystyle {egin {aligned} & sum _ {j = -infty} ^ {infty} sum _ {k = -infty} ^ {infty} 2 ^ {- j} left (| a_ {j, k} | ^ {2 } + | {ilde {a}} _ {j, k} | ^ {2} ight) & {} = součet _ {k = -infty} ^ {infty} vlevo (| a_ {k} | ^ {2 } + | {ilde {a}} _ {k} | ^ {2} ight) + součet _ {j = 0} ^ {infty} součet _ {k = -infty} ^ {infty} 2 ^ {- j} vlevo (| a_ {j, k} | ^ {2} + | {ilde {a}} _ {j, k} | ^ {2} ight) & {} = int _ {- infty} ^ {infty} | f (x) | ^ {2}, dx.end {zarovnáno}}}$

Spíše než výpočet koeficientů roztažnosti přímo ze vztahů ortogonality je možné tak učinit pomocí posloupnosti Fourierových transformací. To je mnohem účinnější v diskrétním analogu této transformace (diskrétní t), kde to může využít rychlá Fourierova transformace algoritmy.

Reference

• David E. Newland, „Harmonická vlnková analýza“ Proceedings of the Royal Society of London, Series A (Mathematical and Physical Sciences), sv. 443, Ne. 1917, s. 203–225 (8. října 1993).
• Vlnky: klíč k občasným informacím B. W. Silverman a J. C. Vassilicos, Oxford University Press, 2000. (ISBN  0-19-850716-X)
• B. Boashash, editor, „Time-Frequency Signal Analysis and Processing - A Comprehensive Reference“, Elsevier Science, Oxford, 2003.