Funkce Hann - Hann function

Funkce Hann (vlevo) a její frekvenční odezva (vpravo)

The Funkce Hann délky ${displaystyle L,}$ zvyklý hrát Hann uhlazuje,^[1] je pojmenována po rakouském meteorologovi Julius von Hann, je funkce okna dána:

${displaystyle w_ {0} (x) riangleq left {{egin {array} {ccl} {frac {1} {2}} left (1 + cos left ({frac {2pi x} {L}} ight) ight) = cos ^ {2} left ({frac {pi x} {L}} ight), quad & left | xight | leq L / 2 0, quad & left | xight |> L / 2end {array}} ight}.}$   ^[2]

Pro zpracování digitálních signálů, lze funkci vzorkovat symetricky jako:

${displaystyle left. {egin {aligned} w [n] = w_ {0} left ({frac {L} {N}} (nN / 2) ight) & = {frac {1} {2}} left [1 -cos left ({frac {2pi n} {N}} ight) ight] & = sin ^ {2} left ({frac {pi n} {N}} ight) end {aligned}} ight}, quad 0leq nleq N,}$

kde je délka okna ${displaystyle N + 1,}$ a N může být sudé nebo liché. (vidět Funkce okna # Okna Hann a Hamming ) Je také známý jako zvýšené kosinové okno, Hannův filtr, von Hann okno, atd.^[3][4]

Fourierova transformace

Nahoře: 16 vzorků DFT-even Hann okno. Spodní část: Její diskrétní Fourierova transformace (DTFT) a 3 nenulové hodnoty její diskrétní Fourierovy transformace (DFT).

Fourierova transformace ${displaystyle w_ {0} (x)}$ darováno:

${displaystyle W_ {0} (f) = {frac {1} {2}} {frac {sin (pi Lf)} {pi f (1-L ^ {2} f ^ {2})}}}$   ^[A]

Ekvivalentní exprese je nalezena z formulace jako lineární kombinace modulovaného obdélníková okna:

${displaystyle mathrm {rect} (x / L) quad {stackrel {ext {Fourier transform}} {longleftrightarrow}} quad Lcdot mathrm {sinc} (Lf) = {frac {sin (pi Lf)} {pi f}}. }$

Použitím Eulerův vzorec abychom rozšířili kosinový výraz, můžeme psát:

${displaystyle w_ {0} (x) = {frac {1} {2}} mathrm {rect} (x / L) + {frac {1} {4}} e ^ {i2pi x / L} mathrm {rect} (x / L) + {frac {1} {4}} e ^ {- i2pi x / L} mathrm {rect} (x / L),}$

jehož Fourierova transformace je jen:

${displaystyle W_ {0} (f) = {frac {1} {2}} {frac {sin (pi Lf)} {pi f}} + {frac {1} {4}} {frac {sin (pi L (f-1 / L))} {pi (f-1 / L)}} + {frac {1} {4}} {frac {sin (pi L (f + 1 / L))} {pi (f + 1 / L)}}.}$

Diskrétní transformace

The Diskrétní Fourierova transformace (DTFT) délky N + 1, časově posunutá sekvence je definována Fourierovou řadou, která má také 3-term ekvivalent, který je odvozen podobně jako derivace Fourierovy transformace:

${displaystyle {egin {aligned} {mathcal {F}} {w [n]} & riangleq sum _ {n = 0} ^ {N} w [n] cdot e ^ {- i2pi fn} & = e ^ { -ipi fN} vlevo [{frac {1} {2}} {frac {sin (pi (N + 1) f)} {sin (pi f)}} + {frac {1} {4}} {frac { sin (pi (N + 1) (f- {frac {1} {N}}))}} sin (pi (f- {frac {1} {N}}))}} + {frac {1} { 4}} {frac {sin (pi (N + 1) (f + {frac {1} {N}}))}} {sin (pi (f + {frac {1} {N}}))}} vpravo]. konec {zarovnáno}}}$

Pro sudé hodnoty N je zkrácená sekvence ${displaystyle {w [n], 0leq nleq N-1}}$ je DFT-even (aka periodicky) Okno Hann. Protože zkrácený vzorek má hodnotu nula, je z definice Fourierovy řady zřejmé, že DTFT jsou ekvivalentní. Přístup, který byl dodržen výše, však vede k výrazně odlišnému, ale ekvivalentnímu 3-termínovému výrazu:

${displaystyle {mathcal {F}} {w [n]} = e ^ {- ipi f (N-1)} vlevo [{frac {1} {2}} {frac {sin (pi Nf)} {sin ( pi f)}} + {frac {1} {4}} e ^ {- ipi / N} {frac {sin (pi N (f- {frac {1} {N}}))}} sin (pi ( f- {frac {1} {N}}))}} + {frac {1} {4}} e ^ {ipi / N} {frac {sin (pi N (f + {frac {1} {N}} ))} {sin (pi (f + {frac {1} {N}}))}} vpravo].}$

DFT funkce okna o délce N vzorkuje DTFT na frekvencích ${displaystyle f = k / N,}$ pro celočíselné hodnoty ${displaystyle k.}$ Z výrazu bezprostředně výše je snadné vidět, že pouze 3 z N DFT koeficientů jsou nenulové. A z druhého výrazu je zřejmé, že všechny mají skutečnou hodnotu. Tyto vlastnosti jsou lákavé pro aplikace v reálném čase, které vyžadují jak okenní, tak i okenní (obdélníkové okno) transformace, protože okenní transformace mohou být efektivně odvozeny od ne okenních transformací konvoluce.^[5][b][C]

název

Funkce je pojmenována na počest von Hanna, který na meteorologických datech použil třídobou váženou průměrnou vyhlazovací techniku.^[6][3] Avšak chybné^[2] Funkce „Hanning“ je příležitostně také slyšet, odvozeno z článku, ve kterém byla pojmenována, kde výraz „hanning a signal“ znamenal použití Hannova okna.^[7][8] Zmatek vzešel z podobného Hammingova funkce, pojmenoval podle Richard Hamming.

Viz také

• Funkce okna
• Apodizace
• Zvýšená kosinová distribuce
• Filtr se zvýšeným kosinusem

Citace stránky

Reference

externí odkazy

• Funkce Hann na MathWorld