Hallova domněnka - Halls conjecture - Wikipedia

v matematika, Hallova domněnka je otevřená otázka od roku 2015, o rozdílech mezi perfektní čtverce a perfektní kostky. Tvrdí, že dokonalý čtverec y2 a dokonalá kostka X3 které nejsou stejné, musí ležet v podstatné vzdálenosti od sebe. Tato otázka vznikla na základě zvážení Mordellova rovnice v teorii celočíselné body na eliptické křivky.

Původní verze Hallova domněnky, formulovaná autorem Marshall Hall, Jr. v roce 1970 říká, že existuje pozitivní konstanta C taková, že pro všechna celá čísla X a y pro který y2 ≠ X3,

Hall to možná navrhl C lze považovat za 1/5, což odpovídá všem údajům známým v době, kdy byla domněnka navržena. Danilov v roce 1982 ukázal, že exponent 1/2 na pravé straně (tj. Použití |X|1/2) nelze nahradit žádnou vyšší silou: pro žádné δ> 0 neexistuje konstanta C takové, že |y2 - X3| > C |X|1/2 + δ kdykoli y2 ≠ X3.

V roce 1965 se Davenport ukázal jako analogie výše uvedené domněnky v případě polynomů: pokud F(t) a G(t) jsou nenulové polynomy C takhle G(t)3 ≠ F(t)2 v C[t], pak

The slabý forma Hallova domněnky, kterou uvedli Stark a Trotter kolem roku 1980, nahradí druhou odmocninu na pravé straně nerovnosti jakýmkoli exponentem méně než 1/2: pro všechny ε > 0, existuje nějaká konstanta C(ε) v závislosti na ε takovém, že pro všechna celá čísla X a y pro který y2 ≠ X3,

Originál, silný, forma domněnky s exponentem 1/2 nebyla nikdy vyvrácena, i když již není považována za pravdivou a termín Hallova domněnka nyní obecně znamená verzi s ε. Například v roce 1998 Noam Elkies našel příklad

4478849284284020423079182 - 58538865167812233 = -1641843,

což by vyžadovalo kompatibilitu s Hallovým domněnkou C být menší než 0,0214 ≈ 1/50, tedy zhruba 10krát menší než původní volba 1/5, kterou navrhl Hall.

Slabá forma Hallova domněnky by vyplývala z ABC domněnka.[1] Zobecnění na jiné dokonalé síly je Pillaiho domněnka.

Tabulka níže zobrazuje známé případy s . Všimněte si, že y lze vypočítat jako nejbližší celé číslo do X3/2.

#Xr
121.41
252344.26[A]
381583.76[A]
4938441.03[A]
53678062.93[A]
64213511.05[A]
77201143.77[A]
89397873.16[A]
9281873514.87[A]
101107813861.23[A]
111543192691.08[A]
123842427661.34[A]
133906200821.33[A]
1437906892012.20[A]
15655894283782.19[b]
169527643894461.15[b]
17124385172601051.27[b]
18354956942274891.15[b]
19531970869582901.66[b]
20585388651678122346.60[b]
21128136087661028061.30[b]
22234155460671248921.46[b]
23381159910678612716.50[b]
243220012997963798441.04[b]
254714770859993898821.38[b]
268105747624039770644.66[b]
2798708846171635187701.90[C]
28425323745801899660733.47[C]
29516988914324297063821.75[C]
30446483294635179205351.79[C]
312314116676272256506493.71[C]
326017246822803103640651.88[C]
3349967988232452997505332.17[C]
3455929303781828488744041.38[C]
35140387906742566912308471.27[C]
367714803271396068026860410.18[d]
371801790042951058496688185.65[d]
383721933779672384749608831.33[C]
3966494777981832420567813616.53[C]
4020288713731858925006361551.14[d]
41107478350834710812688258561.35[C]
42372239000787342151819465871.38[C]
43695869516104856333674914171.22[E]
4436904453831732273063766347201.51[C]
451335457635742620546171476413491.69[E]
4616292129774381720734239614078710.65[E]
473741926908962192108781216451712.97[E]
484018447745008187811646238211771.29[E]
495008592245886461064036690092911.06[E]
5011145923086309958051235711518441.04[F]
51397395909250547735077903633468133.75[E]
528626111438107247636133661166438581.10[E]
5310625217510247713765900622799758591.006[E]
5460786730431260840650079021758469551.03[C]
  1. ^ A b C d E F G h i j k l m J. Gebel, A. Pethö a H. G. Zimmer.
  2. ^ A b C d E F G h i j k l Noam D. Elkies.
  3. ^ A b C d E F G h i j k l m n Ó I. Jiménez Calvo, J. Herranz a G. Sáez.
  4. ^ A b C Johan Bosman (pomocí softwaru JHS).
  5. ^ A b C d E F G h i S. Aanderaa, L. Kristiansen a H.K. Ruud.
  6. ^ L.V. Danilov. Položka 50 patří do nekonečné posloupnosti nalezené Danilovem.

Reference

  1. ^ Schmidt, Wolfgang M. (1996). Diophantine aproximace a Diophantine rovnice. Přednášky z matematiky. 1467 (2. vyd.). Springer-Verlag. str. 205–206. ISBN  3-540-54058-X. Zbl  0754.11020.
  • Guy, Richard K. (2004). Nevyřešené problémy v teorii čísel (3. vyd.). Springer-Verlag. D9. ISBN  978-0-387-20860-2. Zbl  1058.11001.
  • Hall, Jr., Marshall (1971). „Diophantinova rovnice X3 - y2 = k". V Atkin, A.O.L.; Birch, B. J. (eds.). Počítače v teorii čísel. 173–198. ISBN  0-12-065750-3. Zbl  0225.10012.
  • Elkies, N.D. "Racionální body blízko křivek a malá nenulová | 'x3 - y2'| prostřednictvím mřížkové redukce ", http://arxiv.org/abs/math/0005139
  • Danilov, L.V., „Diophantinova rovnice 'x3 - y2 '' = k 'a Hallova domněnka ",' Math. Notes Acad. Sci. SSSR ' 32(1982), 617-618.
  • Gebel, J., Pethö, A. a Zimmer, H.G .: „Na Mordellovu rovnici“, „Compositio Math.“ 110(1998), 335-367.
  • I. Jiménez Calvo, J. Herranz a G. Sáez Moreno, „Nový algoritmus pro hledání malých nenulových | 'x3 - y2' | hodnot“, „Math. Comp. ' 78 (2009), str. 2435-2444.
  • S. Aanderaa, L. Kristiansen a H. K. Ruud, "Hledání dobrých příkladů Hallova domněnky", 'Math. Comp. ' 87 (2018), 2903-2914.

externí odkazy