Podmíněná algebra událostí - Conditional event algebra - Wikipedia

A podmíněná událost algebra (CEA) je algebraická struktura jehož doména se skládá z logických objektů popsaných příkazy formulářů jako „If A, pak B", "B, vzhledem k tomu A", a "B, v případě A". Na rozdíl od standardu Booleova algebra událostí umožňuje CEA definovat a pravděpodobnostní funkce, P, který splňuje rovnici P(Li A pak B) = P(A a B) / P(A) za užitečně širokou škálu podmínek.

Standardní teorie pravděpodobnosti

v standardní teorie pravděpodobnosti, jeden začíná množinou, Ω, výstupů (nebo, v alternativní terminologii, množinou možné světy ) a sada, F, některých (ne nutně všech) podmnožin Ω, takových F je uzavřen pod počítatelně nekonečný verze operací základní teorie množin: sjednocení (∪), průnik (∩) a doplnění (′). Člen F se nazývá událost (nebo alternativně a tvrzení ), a F, množina událostí, je doménou algebry. Ω je nutně členem F, jmenovitě triviální událost „Nastane nějaký výsledek.“

Funkce pravděpodobnosti P přiřadí každému členovi F reálné číslo takovým způsobem, aby vyhovovalo následujícímu axiomy:

Pro každou událost E, P(E) ≥ 0.

P(Ω) = 1

Pro všechny počitatelný sekvence E₁, E₂, ... párových disjunktních událostí (což znamená, že každá událost je disjunktní s každou další událostí), P(E₁ ∪ E₂ ∪ ...) = P(E₁) + P(E₂) + ....

Z toho vyplývá, že P(E) je vždy menší nebo rovno 1. Pravděpodobnostní funkce je základem pro výroky typu P(A ∩ B′) = 0,73, což znamená: „Pravděpodobnost, že A ale ne B je 73%. “

Podmíněné pravděpodobnosti a pravděpodobnosti podmíněných podmínek

Výrok „Pravděpodobnost, že pokud A, pak B, je 24%. “znamená (intuitivně řečeno) tuto událost B se vyskytuje u 24% výsledků, kde událost A dojde. Standardní formální vyjádření je P(B|A) = 0,24, kde podmíněná pravděpodobnost P(B|A) se rovná, podle definice, P(A ∩ B) / P(A).

Je lákavé psát, místo toho, P(A → B) = 0,24, kde A → B je podmíněná událost „Pokud A, pak B„To znamená, vzhledem k událostem A a B, dalo by se předpokládat událost, A → B, takový, že P(A → B) lze počítat jako rovný P(B|A). Jednou z výhod možnosti odkazovat na podmíněné události by byla příležitost vnořit popisy podmíněné události do větších konstrukcí. Pak by se například dalo psát P(A ∪ (B → C)) = 0,51, což znamená, „Pravděpodobnost, že buď A, nebo jinak B, pak C, je 51% “.

Bohužel, filozof David Lewis ukázaly, že v ortodoxní teorii pravděpodobnosti obsahují jen některé triviální booleovské algebry s velmi malým počtem prvků A a B, událost X takhle P(X) = P(B|A) platí pro jakoukoli pravděpodobnostní funkci P. Později rozšířený o další, tento výsledek představuje hlavní překážku pro jakoukoli řeč o logických objektech, které mohou být nositeli podmíněné pravděpodobnosti.

Konstrukce algeber podmíněných událostí

Klasifikace algebry neodkazuje na povahu objektů v doméně, je zcela záležitostí formálního chování operací v doméně. Zkoumání vlastností algebry však často probíhá za předpokladu, že objekty mají konkrétní charakter. Kanonická booleovská algebra je tedy, jak je popsáno výše, algebra podmnožin vesmírné množiny. To, co Lewis ve skutečnosti ukázal, je to, co lze a co nelze udělat s algebrou, jejíž členové se chovají jako členové takové sady podmnožin.

Podmíněné algebry událostí obcházejí překážku identifikovanou Lewisem pomocí nestandardní domény objektů. Místo toho, abychom byli členy sady F podmnožin nějaké vesmírné množiny Ω jsou kanonické objekty obvykle konstrukcemi členů vyšší úrovně F. Nejpřirozenější konstrukce, a historicky první, používá uspořádané páry členů F. Jiné konstrukce používají sady členů F nebo nekonečné sekvence členů F.

Mezi konkrétní typy CEA patří následující (uvedené v pořadí podle objevu):

Shay algebry

Kaláberské algebry

Goodman-Nguyen-van Fraassen algebry

Goodman-Nguyen-Walkerovy algebry

CEA se liší ve svých formálních vlastnostech, takže je nelze považovat za jedinou axiomaticky charakterizovanou třídu algebry. Goodman-Nguyen-van Frassenovy algebry jsou například booleovské, zatímco kaláberské algebry nejsoudistribuční. Ty však podporují intuitivně přitažlivou identitu A → (B → C) = (A ∩ B) → C, zatímco první ne.

Reference

Goodman, I. R., R. P. S. Mahler a H. T. Nguyen. 1999. „Co je to algebra podmíněných událostí a proč by vás to mělo zajímat?“ SPIE řízení, Sv. 3720.

Lewis, David K. 1976. „Pravděpodobnosti podmíněných a podmíněných pravděpodobností“. Filozofický přehled 85: 297-315.