Gauss – Laguerreova kvadratura - Gauss–Laguerre quadrature

v numerická analýza Gauss – Laguerreova kvadratura (pojmenoval podle Carl Friedrich Gauss a Edmond Laguerre ) je rozšířením Gaussova kvadratura metoda pro aproximaci hodnoty integrálů následujícího druhu:

{displaystyle int _ {0} ^ {+ infty} e ^ {- x} f (x), dx.}

V tomto případě

{displaystyle int _ {0} ^ {+ infty} e ^ {- x} f (x), dxaptický součet _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} f (x_ {i})}

kde X_i je i-tý kořen Laguerrův polynom L_n(X) a hmotnost w_i darováno^[1]

{displaystyle w_ {i} = {frac {x_ {i}} {left (n + 1ight) ^ {2} left [L_ {n + 1} left (x_ {i} ight) ight] ^ {2}}} .}

Pro obecnější funkce

Integrovat funkci ${displaystyle f}$ použijeme následující transformaci

{displaystyle int _ {0} ^ {infty} f (x), dx = int _ {0} ^ {infty} f (x) e ^ {x} e ^ {- x}, dx = int _ {0} ^ {infty} g (x) e ^ {- x}, dx}

kde ${displaystyle gleft (xight): = e ^ {x} fleft (xight)}$ . Pro poslední integralon pak používá Gauss-Laguerrovu kvadraturu. Všimněte si, že i když tento přístup funguje z analytické perspektivy, není vždy numericky stabilní.

Zobecněná Gauss – Laguerreova kvadratura

Obecněji lze také uvažovat o celých značkách, které mají známé ${displaystyle x ^ {alpha}}$ power-law singularity ve společnosti X= 0, pro nějaké reálné číslo ${displaystyle alpha> -1}$ , což vede k integrálům formuláře:

{displaystyle int _ {0} ^ {+ infty} x ^ {alpha} e ^ {- x} f (x), dx.}

V tomto případě jsou uvedeny váhy^[2] z hlediska zobecněné Laguerrovy polynomy:

{displaystyle w_ {i} = {frac {gama (n + alfa +1) x_ {i}} {n! (n + 1) ^ {2} [L_ {n + 1} ^ {(alfa)} (x_ {i})] ^ {2}}} ,,}

kde ${displaystyle x_ {i}}$ jsou kořeny ${displaystyle L_ {n} ^ {(alfa)}}$ .

To umožňuje efektivně vyhodnotit takové integrály pro polynomiální nebo hladké F(X), i když α není celé číslo.^[3]

Reference

^ Rovnice 25,45 palce Abramowitz, M.; Stegun, I. A. Příručka matematických funkcí. Doveru. ISBN 978-0-486-61272-0. 10. dotisk s opravami.
^ Weisstein, Eric W., „Laguerre-Gaussova kvadratura“ From MathWorld - A Wolfram Web Resource, Accessed 9. března 2020
^ Rabinowitz, P.; Weiss, G. (1959). "Tabulky úseček a vah pro numerické vyhodnocení integrálů formuláře ${displaystyle int _ {0} ^ {infty} exp (-x) x ^ {n} f (x), dx}$ ". Matematické tabulky a další pomůcky k výpočtu. 13: 285–294. doi:10.1090 / S0025-5718-1959-0107992-3.

Další čtení

Salzer, H. E.; Zucker, R. (1949). "Tabulka nul a váhových faktorů prvních patnácti Laguerrových polynomů". Bulletin of the American Mathematical Society. 55 (10): 1004–1012. doi:10.1090 / S0002-9904-1949-09327-8.
Concus, P .; Cassatt, D .; Jaehnig, G .; Melby, E. (1963). "Tabulky pro hodnocení ${displaystyle int _ {0} ^ {infty} x ^ {eta} exp (-x) f (x), dx}$ Gauss-Laguerrovou kvadraturou ". Matematika výpočtu. 17: 245–256. doi:10.1090 / S0025-5718-1963-0158534-9.
Shao, T. S .; Chen, T. C .; Frank, R. M. (1964). „Tabulka nul a Gaussových vah určitých sdružených Laguerrových polynomů a souvisejících hermitských polynomů“. Matematika výpočtu. 18 (88): 598–616. doi:10.1090 / S0025-5718-1964-0166397-1. JSTOR 2002946. PAN 0166397.
Ehrich, S. (2002). „O stratifikovaných rozšířeních kvadraturních vzorců Gauss-Laguerre a Gauss-Hermite“. Journal of Computational and Applied Mathematics. 140 (1–2): 291–299. doi:10.1016 / S0377-0427 (01) 00407-1.

externí odkazy

Rutina Matlabu pro Gauss – Laguerrovu kvadraturu
Zobecněná Gauss – Laguerreova kvadratura, svobodný software v Matlabu, C ++ a Fortranu.