Gauss – Hermitova kvadratura - Gauss–Hermite quadrature

Váhy versus Xi pro čtyři možnosti n
v numerická analýza, Gauss – Hermitova kvadratura je forma Gaussova kvadratura pro přiblížení hodnoty integrálů tohoto druhu:
V tomto případě
kde n je počet použitých vzorkovacích bodů. The Xi jsou kořeny fyzikální verze Poustevnický polynom Hn(X) (i = 1,2,...,n) a související váhy wi jsou dány[1]
Příklad se změnou proměnné
Zvažte funkci h (y), kde proměnná y je Normálně distribuováno: . The očekávání z h odpovídá následujícímu integrálu:
Protože to přesně neodpovídá Hermitovu polynomu, musíme změnit proměnné:
Ve spojení s integrace substitucí, získáváme:
vedoucí k:
Reference
- ^ Abramowitz, M & Stegun, I A, Příručka matematických funkcí, 10. tisk s opravami (1972), Dover, ISBN 978-0-486-61272-0. Rovnice 25.4.46.
- Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W., eds. (2010), „Kvadratura: Gauss – Hermitův vzorec“, NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, PAN 2723248
- Shao, T. S .; Chen, T. C .; Frank, R. M. (1964). "Tabulky nul a Gaussových vah určitých přidružených Laguerrových polynomů a souvisejících zobecněných Hermitových polynomů". Matematika. Comp. 18 (88): 598–616. doi:10.1090 / S0025-5718-1964-0166397-1. PAN 0166397.
- Steen, N.M .; Byrne, G. D .; Gelbard, E. M. (1969). „Gaussovy kvadratury pro integrály a ". Matematika. Comp. 23 (107): 661–671. doi:10.1090 / S0025-5718-1969-0247744-3. PAN 0247744.
- Shizgal, B. (1981). „Gaussova kvadraturní procedura pro použití při řešení Boltzmannovy rovnice a souvisejících problémů“. J. Comput. Phys. 41: 309–328. doi:10.1016/0021-9991(81)90099-1.
externí odkazy
- Pro tabulky Gauss-Hermite abscissae a váhy na objednávku n = 32 viz http://www.efunda.com/math/num_integration/findgausshermite.cfm.
- Zobecněná Gauss – Hermitova kvadratura, svobodný software v C ++, Fortran a Matlab