Gausssova metoda - Gausss method - Wikipedia

v orbitální mechanika (podpole z nebeská mechanika ), Gaussova metoda se používá pro předběžné stanovení oběžné dráhy z nejméně tří pozorování (více pozorování zvyšuje přesnost určené oběžné dráhy) zájmového orbitálního tělesa ve třech různých časech. Požadované informace jsou časy pozorování, polohové vektory bodů pozorování (v Rovníková souřadnicová soustava ), směrový kosinový vektor obíhajícího tělesa z pozorovacích bodů (z topocentrického rovníkového souřadnicového systému) a obecná fyzikální data.

Carl Friedrich Gauss vyvinuli důležité matematické techniky (shrnuté v Gaussových metodách), které byly konkrétně použity k určení oběžné dráhy Ceres. Níže uvedená metoda je určení oběžné dráhy oběžného tělesa kolem ohniskového tělesa, odkud byla pozorování převzata, zatímco metoda pro určení oběžné dráhy Ceres vyžaduje trochu většího úsilí, protože pozorování byla převzata z Země zatímco Ceres obíhá kolem slunce.

Vektor pozice pozorovatele

Vektor pozice pozorovatele (v Rovníková souřadnicová soustava ) pozorovacích bodů lze určit z zeměpisná šířka a místní hvězdný čas (z Topocentrický souřadnicový systém ) na povrchu ohniskového tělesa obíhajícího tělesa (například Země) buď:

${ displaystyle mathbf {R_ {n}} = left [{R_ {e} over { sqrt {1- (2f-f ^ {2}) sin ^ {2} phi _ {n}} }} + H_ {n} vpravo] cos phi _ {n} ( cos theta _ {n} mathbf { hat {I}} + sin theta _ {n} mathbf { hat {J}}) + left [{R_ {e} (1-f) ^ {2} over { sqrt {1- (2f-f ^ {2}) sin ^ {2} phi _ {n}}}} + H_ {n} vpravo] sin phi _ {n} mathbf { hat {K}}}$

Geodetická šířka

Geocentrická zeměpisná šířka

nebo

${ displaystyle mathbf {R_ {n}} = R_ {e} cos phi '_ {n} cos theta _ {n} mathbf { hat {I}} + R_ {e} cos phi '_ {n} sin theta _ {n} mathbf { hat {J}} + R_ {e} sin phi' _ {n} mathbf { hat {K}}}$

kde,

• ${ displaystyle mathbf {R_ {n}}}$ je příslušný vektor polohy pozorovatele (v rovníkovém souřadném systému)
• ${ displaystyle R_ {e}}$ je rovníkový poloměr tělesa (např. 6 378 km pro Zemi)
• ${ displaystyle f}$ je oblateness (nebo zploštění ) těla (např. 0,003353 pro Zemi)
• ${ displaystyle phi _ {n}}$ je geodetická šířka (úhel mezi normální rovinou a rovníkovou rovinou)
• ${ displaystyle phi '_ {n}}$ je geocentrická zeměpisná šířka (úhel mezi poloměrem a rovníkovou rovinou)
• ${ displaystyle H_ {n}}$ je nadmořská výška
• ${ displaystyle theta _ {n}}$ je místní hvězdný čas

Kosinusový vektor obíhající kolem těla

Správný vzestup (modrá) a deklinace (zelená) při pohledu zvenčí nebeská sféra

Kosinový vektor ve směru obíhajícího tělesa lze určit z pravý vzestup a deklinace (z topocentrického rovníkového souřadnicového systému) obíhajícího tělesa z pozorovacích bodů pomocí:

${ displaystyle mathbf {{ hat { rho}} _ {n}} = cos delta _ {n} cos alpha _ {n} mathbf { hat {I}} + cos delta _ {n} sin alpha _ {n} mathbf { hat {J}} + sin delta _ {n} mathbf { hat {K}}}$

kde,

• ${ displaystyle mathbf {{ hat { rho}} _ {n}}}$ je příslušný jednotkový vektor ve směru pozičního vektoru ${ displaystyle rho}$ (z pozorovacího bodu do obíhajícího tělesa v topocentrickém rovníkovém souřadnicovém systému)
• ${ displaystyle delta _ {n}}$ je příslušná deklinace
• ${ displaystyle alpha _ {n}}$ je příslušný pravý vzestup

Gaussova metoda algoritmu předběžného stanovení oběžné dráhy

Počáteční odvození začíná přidáním vektoru k určení vektoru polohy orbitálního tělesa. Pak na základě zachování moment hybnosti a Kepleriánská dráha principů (který uvádí, že oběžná dráha leží ve dvourozměrné rovině v trojrozměrném prostoru), je vytvořena lineární kombinace uvedených polohových vektorů. Rovněž vztah mezi polohou těla a vektorem rychlosti pomocí Lagrangeovy koeficienty je použito, což má za následek použití uvedených koeficientů. Poté pomocí vektorové manipulace a algebry byly odvozeny následující rovnice. Podrobné odvození viz Curtis.^[1]

POZNÁMKA: Gaussova metoda je předběžné určení oběžné dráhy s důrazem na předběžné. Aproximace Lagrangeových koeficientů a omezení požadovaných podmínek pozorování (tj. Nevýznamné zakřivení v oblouku mezi pozorováními, viz Gronchi^[2] pro více podrobností) způsobuje nepřesnosti. Gaussovu metodu lze vylepšit zvýšením přesnosti dílčích komponent, například řešení Keplerova rovnice. Dalším způsobem, jak zvýšit přesnost, je více pozorování.

Krok 1

Vypočítejte časové intervaly, odečtěte časy mezi pozorováními:

${ displaystyle tau _ {1} = t_ {1} -t_ {2}}$

${ displaystyle tau _ {3} = t_ {3} -t_ {2}}$

${ displaystyle tau = t_ {3} -t_ {1}}$

kde

• ${ displaystyle tau _ {n}}$ je časový interval
• ${ displaystyle t_ {n}}$ je příslušná doba pozorování

Krok 2

Křížový produkt ve vztahu k pravostrannému souřadnicovému systému

Vypočítejte křížové produkty, vezměte křížové produkty směru pozorovací jednotky (záleží na pořadí):

${ displaystyle mathbf {p_ {1}} = mathbf {{ hat { rho}} _ {2}} times mathbf {{ hat { rho}} _ {3}}}$

${ displaystyle mathbf {p_ {2}} = mathbf {{ hat { rho}} _ {1}} times mathbf {{ hat { rho}} _ {3}}}$

${ displaystyle mathbf {p_ {3}} = mathbf {{ hat { rho}} _ {1}} times mathbf {{ hat { rho}} _ {2}}}$

kde

• ${ displaystyle mathbf {a} krát mathbf {b}}$ je křížový produkt vektorů ${ displaystyle mathbf {a} { text {a}} mathbf {b}}$
• ${ displaystyle mathbf {p_ {n}}}$ je příslušný vektor křížového produktu
• ${ displaystyle mathbf {{ hat { rho}} _ {n}}}$ je příslušný jednotkový vektor

Krok 3

Tři vektory definující rovnoběžnostěn. Velikost trojitého produktu, ${ displaystyle | mathbf {a} cdot ( mathbf {b} times mathbf {c}) |}$, popisuje svazek.

Vypočítejte společnou skalární veličinu (skalární trojitý součin), vezměte tečkový součin vektoru první pozorovací jednotky s křížovým součinem vektoru druhé a třetí pozorovací jednotky:

${ displaystyle D_ {0} = mathbf {{ hat { rho}} _ {1}} cdot mathbf {p_ {1}} = mathbf {{ hat { rho}} _ {1} } cdot ( mathbf {{ hat { rho}} _ {2}} times mathbf {{ hat { rho}} _ {3}})}$

kde

• ${ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b}}$ je Tečkovaný produkt vektorů ${ displaystyle mathbf {a} { text {a}} mathbf {b}}$
• ${ displaystyle D_ {0}}$ je obyčejný skalární trojitý produkt
• ${ displaystyle mathbf {p_ {n}}}$ je příslušný vektor křížového produktu
• ${ displaystyle mathbf {{ hat { rho}} _ {n}}}$ je příslušný jednotkový vektor

Krok 4

Vypočítejte devět skalárních veličin (podobně jako v kroku 3):

${ displaystyle D_ {11} = mathbf {R_ {1}} cdot mathbf {p_ {1}} qquad D_ {12} = mathbf {R_ {1}} cdot mathbf {p_ {2} } qquad D_ {13} = mathbf {R_ {1}} cdot mathbf {p_ {3}}}$

${ displaystyle D_ {21} = mathbf {R_ {2}} cdot mathbf {p_ {1}} qquad D_ {22} = mathbf {R_ {2}} cdot mathbf {p_ {2} } qquad D_ {23} = mathbf {R_ {2}} cdot mathbf {p_ {3}}}$

${ displaystyle D_ {31} = mathbf {R_ {3}} cdot mathbf {p_ {1}} qquad D_ {32} = mathbf {R_ {3}} cdot mathbf {p_ {2} } qquad D_ {33} = mathbf {R_ {3}} cdot mathbf {p_ {3}}}$

kde

• ${ displaystyle D_ {mn}}$ jsou příslušné skalární veličiny
• ${ displaystyle mathbf {R_ {m}}}$ je příslušný vektor polohy pozorovatele
• ${ displaystyle mathbf {p_ {n}}}$ je příslušný vektor křížového produktu

Krok 5

Vypočítejte koeficienty skalární polohy:

${ displaystyle A = { frac {1} {D_ {0}}} vlevo (-D_ {12} { frac { tau _ {3}} { tau}} + D_ {22} + D_ { 32} { frac { tau _ {1}} { tau}} vpravo)}$

${ displaystyle B = { frac {1} {6D_ {0}}} vlevo [D_ {12} vlevo ( tau _ {3} ^ {2} - tau ^ {2} vpravo) { frac { tau _ {3}} { tau}} + D_ {32} left ( tau ^ {2} - tau _ {1} ^ {2} right) { frac { tau _ { 1}} { tau}} vpravo]}$

${ displaystyle E = mathbf {R_ {2}} cdot mathbf {{ hat { rho}} _ {2}}}$

kde

• ${ displaystyle A { text {,}} B { text {a}} E}$ jsou skalární polohové koeficienty
• ${ displaystyle D_ {0}}$ je obyčejná skalární veličina
• ${ displaystyle D_ {mn}}$ jsou příslušné skalární veličiny
• ${ displaystyle tau _ {n}}$ je časový interval
• ${ displaystyle R_ {n}}$ je příslušný vektor polohy pozorovatele
• ${ displaystyle mathbf {{ hat { rho}} _ {n}}}$ je příslušný jednotkový vektor

Krok 6

Vypočítejte druhou mocninu skalárního vzdálenosti druhého pozorování tak, že vezmeme bodový součin vektoru polohy druhého pozorování:

${ displaystyle {R_ {2}} ^ {2} = mathbf {R_ {2}} cdot mathbf {R_ {2}}}$

kde

• ${ displaystyle {R_ {2}} ^ {2}}$ je druhá mocnina vzdálenosti druhého pozorování
• ${ displaystyle mathbf {R_ {2}}}$ je poziční vektor druhého pozorování

Krok 7

Vypočítejte koeficienty polynomu skalární vzdálenosti pro druhé pozorování obíhajícího tělesa:

${ displaystyle a = - left (A ^ {2} + 2AE + {R_ {2}} ^ {2} right)}$

${ displaystyle b = -2 mu B (A + E)}$

${ displaystyle c = - mu ^ {2} B ^ {2}}$

kde

• ${ displaystyle a { text {,}} b { text {a}} c}$ jsou koeficienty polynomu skalární vzdálenosti pro druhé pozorování obíhajícího tělesa
• ${ displaystyle A { text {,}} B { text {a}} E}$ jsou skalární polohové koeficienty
• ${ displaystyle mu}$ je gravitační parametr ohniskového těla obíhajícího těla

Krok 8

Najděte kořen polynomu skalární vzdálenosti pro druhé pozorování obíhajícího tělesa:

${ displaystyle {r_ {2}} ^ {8} + a {r_ {2}} ^ {6} + b {r_ {2}} ^ {3} + c = 0}$

kde

• ${ displaystyle r_ {2}}$ je skalární vzdálenost pro druhé pozorování obíhajícího tělesa (jeho a jeho vektoru, r₂, jsou v rovníkovém souřadnicovém systému)
• ${ displaystyle a { text {,}} b { text {a}} c}$ jsou koeficienty, jak bylo uvedeno výše

K nalezení kořene lze použít různé metody, doporučenou metodou je Newton-Raphsonova metoda. Kořen musí být fyzicky možný (tj. Nesmí být negativní ani složitý) a pokud je vhodných více kořenů, každý z nich musí být vyhodnocen a porovnán s dostupnými údaji, aby se potvrdila jejich platnost.

Krok 9

Vypočítejte sklon, vzdálenost od bodu pozorovatele k oběžné dráze v příslušné době:

${ displaystyle rho _ {1} = { frac {1} {D_ {0}}} vlevo [{ frac {6 vlevo (D_ {31} { dfrac { tau _ {1}} { tau _ {3}}} + D_ {21} { dfrac { tau} { tau _ {3}}} vpravo) {r_ {2}} ^ {3} + mu D_ {31} vlevo ( tau ^ {2} - { tau _ {1}} ^ {2} vpravo) { dfrac { tau _ {1}} { tau _ {3}}}} {6 {r_ { 2}} ^ {3} + mu left ( tau ^ {2} - { tau _ {3}} ^ {2} right)}} - D_ {11} right]}$

${ displaystyle rho _ {2} = A + { frac { mu B} {{r_ {2}} ^ {3}}}}$

${ displaystyle rho _ {3} = { frac {1} {D_ {0}}} vlevo [{ frac {6 vlevo (D_ {13} { dfrac { tau _ {3}} { tau _ {1}}} - D_ {23} { dfrac { tau} { tau _ {1}}} right) {r_ {2}} ^ {3} + mu D_ {13} vlevo ( tau ^ {2} - { tau _ {3}} ^ {2} vpravo) { dfrac { tau _ {3}} { tau _ {1}}}} {6 {r_ { 2}} ^ {3} + mu left ( tau ^ {2} - { tau _ {1}} ^ {2} right)}} - D_ {33} right]}$

kde

• ${ displaystyle rho _ {n}}$ je příslušná sklon (to a jeho vektor, ${ displaystyle mathbf { rho _ {n}}}$, jsou v topocentrickém rovníkovém souřadnicovém systému)
• ${ displaystyle D_ {0}}$ je obyčejná skalární veličina
• ${ displaystyle D_ {mn}}$ jsou příslušné skalární veličiny
• ${ displaystyle tau _ {(n)}}$ je časový interval
• ${ displaystyle r_ {2}}$ je skalární vzdálenost pro druhé pozorování obíhajícího tělesa
• ${ displaystyle mu}$ je gravitační parametr ohniskového těla obíhajícího těla

Krok 10

Vypočítejte vektory polohy těles obíhajících na oběžné dráze přidáním vektoru polohy pozorovatele do vektoru směru šikmého (což je šikmá vzdálenost vynásobená vektorem směru šikmého):

${ displaystyle mathbf {r_ {1}} = mathbf {R_ {1}} + rho _ {1} mathbf {{ hat { rho}} _ {1}}}$

${ displaystyle mathbf {r_ {2}} = mathbf {R_ {2}} + rho _ {2} mathbf {{ hat { rho}} _ {2}}}$

${ displaystyle mathbf {r_ {3}} = mathbf {R_ {3}} + rho _ {3} mathbf {{ hat { rho}} _ {3}}}$

kde

• ${ displaystyle mathbf {r_ {n}}}$ je příslušný vektor polohy obíhajícího těla (v Rovníková souřadnicová soustava )
• ${ displaystyle mathbf {R_ {n}}}$ je příslušný vektor polohy pozorovatele
• ${ displaystyle rho _ {n}}$ je příslušná sklon
• ${ displaystyle mathbf {{ hat { rho}} _ {n}}}$ je příslušný jednotkový vektor

Krok 11

Vypočítejte Lagrangeovy koeficienty:

${ displaystyle f_ {1} cca 1 - { frac {1} {2}} { frac { mu} {{r_ {2}} ^ {3}}} { tau _ {1}} ^ {2}}$

${ displaystyle f_ {3} přibližně 1 - { frac {1} {2}} { frac { mu} {{r_ {2}} ^ {3}}} { tau _ {3}} ^ {2}}$

${ displaystyle g_ {1} cca tau _ {1} - { frac {1} {6}} { frac { mu} {{r_ {2}} ^ {3}}} { tau _ {1}} ^ {3}}$

${ displaystyle g_ {3} přibližně tau _ {3} - { frac {1} {6}} { frac { mu} {{r_ {2}} ^ {3}}} { tau _ {3}} ^ {3}}$

kde,

• ${ displaystyle f_ {1}}$, ${ displaystyle f_ {3}}$, ${ displaystyle g_ {1}}$ a ${ displaystyle g_ {3}}$ jsou Lagrangeovy koeficienty (to jsou jen první dva termíny výrazu řady založené na předpokladu malého časového intervalu)
• ${ displaystyle mu}$ je gravitační parametr ohniskového těla obíhajícího těla
• ${ displaystyle r_ {2}}$ je skalární vzdálenost pro druhé pozorování obíhajícího tělesa
• ${ displaystyle tau _ {(n)}}$ je časový interval

Krok 12

Vypočítejte vektor rychlosti pro druhé pozorování obíhajícího tělesa:

${ displaystyle mathbf {v_ {2}} = { frac {1} {f_ {1} g_ {3} -f_ {3} g_ {1}}} vlevo (-f_ {3} mathbf {r_ {1}} + f_ {1} mathbf {r_ {3}} vpravo)}$

kde

• ${ displaystyle mathbf {v_ {2}}}$ je vektor rychlosti pro druhé pozorování obíhajícího tělesa (v Rovníková souřadnicová soustava )
• ${ displaystyle f_ {1}}$, ${ displaystyle f_ {3}}$, ${ displaystyle g_ {1}}$ a ${ displaystyle g_ {3}}$ jsou Lagrangeovy koeficienty
• ${ displaystyle mathbf {r_ {n}}}$ je příslušný vektor polohy obíhajícího těla

Krok 13

The vektory orbitálního stavu byly nyní nalezeny vektor polohy (r2) a rychlosti (v2) pro druhé pozorování obíhajícího tělesa. S těmito dvěma vektory lze najít orbitální prvky a určit orbitu.

Reference

• Der, Gim J .. „Nové algoritmy pouze pro úhly pro počáteční stanovení oběžné dráhy.“ Konference Advanced Maui Optical and Space Surveillance Technologies Conference. (2012). Tisk.