Plná zpětná vazba stavu - Full state feedback - Wikipedia

Plná zpětná vazba stavu (FSF) nebo umístění pólu, je metoda používaná v zpětná vazba teorie řídicího systému umístit uzavřené smyčky a rostlina na předem určených místech v s-letadlo.^[1] Umístění pólů je žádoucí, protože umístění pólů odpovídá přímo vlastní čísla systému, které řídí charakteristiky odezvy systému. Je třeba vzít v úvahu systém ovladatelný za účelem implementace této metody.

Zásada

Systém v otevřené smyčce

Pokud lze dynamiku uzavřené smyčky reprezentovat rovnicí stavového prostoru (viz Stavový prostor (ovládací prvky) )

${ displaystyle { dot { podtržení {x}}} = mathbf {A} { podtržení {x}} + mathbf {B} { podtržení {u}},}$

s výstupní rovnicí

${ displaystyle { podtržení {y}} = mathbf {C} { podtržení {x}} + mathbf {D} { podtržení {u}},}$

pak póly funkce přenosu systému jsou kořeny charakteristické rovnice dané

${ displaystyle left | s { textbf {I}} - { textbf {A}} right | = 0.}$

Plná stavová zpětná vazba se využívá přikázáním vstupního vektoru ${ displaystyle { podtržení {u}}}$. Zvažte vstup úměrný (ve smyslu matice) stavovému vektoru,

Systém se zpětnou vazbou stavu (uzavřená smyčka)

${ displaystyle { podtržení {u}} = - mathbf {K} { podtržení {x}}}$.

Dosazení do rovnic stavového prostoru výše, máme

${ displaystyle { dot { underline {x}}} = ( mathbf {A} - mathbf {B} mathbf {K}) { underline {x}}}$

${ displaystyle { underline {y}} = ( mathbf {C} - mathbf {D} mathbf {K}) { underline {x}}.}$

Póly systému FSF jsou dány charakteristickou rovnicí matice ${ displaystyle mathbf {A} - mathbf {B} mathbf {K}}$, ${ displaystyle det left [s { textbf {I}} - left ({ textbf {A}} - { textbf {B}} { textbf {K}} right) right] = 0 }$. Porovnáním podmínek této rovnice s podmínkami požadované rovnice se získá hodnota matice zpětné vazby ${ displaystyle { textbf {K}}}$ které nutí vlastní čísla uzavřené smyčky do pólových poloh určených požadovanou charakteristickou rovnicí.^[2]

Příklad FSF

Uvažujme systém daný následujícími rovnicemi stavového prostoru:

${ displaystyle { dot { underline {x}}} = { begin {bmatrix} 0 & 1 - 2 & -3 end {bmatrix}} { underline {x}} + { begin {bmatrix} 0 1 end {bmatrix}} { podtržení {u}}.}$

Nekontrolovaný systém má póly otevřené smyčky na ${ displaystyle s = -1}$ a ${ displaystyle s = -2}$. Tyto póly jsou vlastní čísla ${ displaystyle mathbf {A}}$ matice a jsou kořeny ${ displaystyle left | s mathbf {I} - mathbf {A} right |}$. Předpokládejme, že z hlediska odpovědi si přejeme, aby se vlastní hodnoty řízeného systému nacházely na ${ displaystyle s = -1}$ a ${ displaystyle s = -5}$, což nejsou póly, které v současné době máme. Požadovaná charakteristická rovnice je tedy ${ displaystyle s ^ {2} + 6s + 5 = 0}$, z ${ displaystyle (s + 1) (s + 5)}$.

Podle výše uvedeného postupu je charakteristická rovnice systému řízeného FSF

${ displaystyle left | s mathbf {I} - left ( mathbf {A} - mathbf {B} mathbf {K} right) right | = det { begin {bmatrix} s & -1 2 + k_ {1} & s + 3 + k_ {2} end {bmatrix}} = s ^ {2} + (3 + k_ {2}) s + (2 + k_ {1}),}$

kde

${ displaystyle mathbf {K} = { begin {bmatrix} k_ {1} & k_ {2} end {bmatrix}}.}$

Po nastavení této charakteristické rovnice na požadovanou charakteristickou rovnici zjistíme

${ displaystyle mathbf {K} = { začátek {bmatrix} 3 a 3 konec {bmatrix}}}$.

Proto nastavení ${ displaystyle { podtržení {u}} = - mathbf {K} { podtržení {x}}}$ nutí póly uzavřené smyčky do požadovaných míst a ovlivňuje požadovanou odezvu.

Toto funguje pouze pro systémy s jedním vstupem. Více vstupních systémů bude mít a ${ displaystyle { textbf {K}}}$ matice, která není jedinečná. Volba proto nejlepší ${ displaystyle { textbf {K}}}$ hodnoty není triviální. A lineárně kvadratický regulátor může být použit pro takové aplikace^{[Citace je zapotřebí ]}.

Viz také

• Rozdělení pólů
• Kroková reakce
• Ackermannova formule
• Lineární kvadratický regulátor

Reference

externí odkazy

• Funkce Mathematica pro výpočet zisků zpětné vazby stavu