Ackermannsův vzorec - Ackermanns formula - Wikipedia

v teorie řízení, Ackermannův vzorec je kontrolní systém návrhová metoda pro řešení přidělení pólu problém pro systémy s invariantním časem Jürgen Ackermann.^[1] Jedním z hlavních problémů v návrhu řídicího systému je vytvoření řadičů, které změní dynamiku systému změnou vlastních čísel matice představujících dynamiku systému s uzavřenou smyčkou.^[2] To odpovídá změně pólů přidruženého přenosová funkce v případě, že nedojde ke zrušení pólů a nul.

Řízení zpětné vazby stavu

Uvažujme lineární invariantní systém spojitého času s a reprezentace stavového prostoru

{ displaystyle { dot {x}} (t) = Sekera (t) + Bu (t)}

{ displaystyle y (t) = Cx (t)}

kde X je stavový vektor, u je vstupní vektor a A, B a C jsou matice kompatibilních dimenzí, které představují dynamiku systému. Popis vstupu-výstupu tohoto systému je dán přenosová funkce

{ displaystyle G (s) = C (sI-A) ^ {- 1} B = C { frac { operatorname {Adj} (sI-A)} { det (sI-A)}} B .}

Jelikož jmenovatel správné rovnice je dán znakem charakteristický polynom z A, póly G jsou vlastní čísla z A (všimněte si, že konverzace nemusí být nutně pravdivá, protože mezi pojmy čitatele a jmenovatele může dojít ke zrušení). Pokud je systém nestabilní, nebo má pomalou odezvu nebo jinou charakteristiku, která neurčuje konstrukční kritéria, může být výhodné provést v ní změny. Matice A, B a C, však mohou představovat fyzikální parametry systému, které nelze změnit. Jedním z přístupů k tomuto problému tedy může být vytvoření zpětnovazební smyčky se ziskem K. který bude krmit stavovou proměnnou X do vstupu u.

Pokud je systém ovladatelný, vždy existuje vstup ${ displaystyle u (t)}$ takový, že jakýkoli stát ${ displaystyle x_ {0}}$ lze přenést do jiného státu ${ displaystyle x (t)}$ . S ohledem na to lze do systému přidat řídicí zpětnovazební smyčku ${ displaystyle u (t) = r (t) -Kx (t)}$ , takže nová dynamika systému bude

{ displaystyle { dot {x}} (t) = sekera (t) + B [r (t) -Kx (t)] = [A-BK] x (t) + Br (t)}

{ displaystyle y (t) = Cx (t).}

V této nové realizaci budou póly závislé na charakteristickém polynomu ${ displaystyle Delta _ {nové}}$ z ${ displaystyle A-BK}$ , to je

{ displaystyle Delta _ { text {nový}} (s) = det (sI- (A-BK)).}

Ackermannův vzorec

Výpočet charakteristického polynomu a volba vhodné matice zpětné vazby může být náročným úkolem, zejména ve větších systémech. Jedním ze způsobů, jak usnadnit výpočty, je Ackermannův vzorec. Pro jednoduchost zvažte jeden vstupní vektor bez referenčního parametru ${ displaystyle r}$ , jako

{ displaystyle u (t) = - k ^ {T} x (t)}

{ displaystyle { dot {x}} (t) = Sekera (t) -Bk ^ {T} x (t),}

kde ${ displaystyle k ^ {T}}$ je vektor zpětné vazby kompatibilních rozměrů. Ackermannův vzorec uvádí, že proces návrhu lze zjednodušit pouze výpočtem následující rovnice:

{ displaystyle k ^ {T} = doleva [0 0 cdots 0 1 doprava] { mathcal {C}} ^ {- 1} Delta _ { text {nový}} (A) ,}

ve kterém ${ displaystyle Delta _ { text {nový}} (A)}$ je požadovaný charakteristický polynom vyhodnocený na matici ${ displaystyle A}$ , a ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ je matice ovladatelnosti systému.

Důkaz

Tento důkaz je založen na Encyclopedia of Life Support Systems vstup do Pole Placement Control.^[3] Předpokládejme, že systém je ovladatelný. Charakteristický polynom z ${ displaystyle A_ {CL}: = (A-Bk ^ {T})}$ darováno

{ displaystyle Delta (A_ {CL}) = (A_ {CL}) ^ {n} + součet _ {k = 0} ^ {n-1} alpha _ {k} A_ {CL} ^ {k -1}}

Výpočet pravomocí ${ displaystyle A_ {CL}}$ výsledky v

{ displaystyle { begin {aligned} (A_ {CL}) ^ {0} & = (A-Bk ^ {T}) ^ {0} = I (A_ {CL}) ^ {1} & = (A-Bk ^ {T}) ^ {1} = A-Bk ^ {T} (A_ {CL}) ^ {2} & = (A-Bk ^ {T}) ^ {2} = A ^ {2} -ABk ^ {T} -Bk ^ {T} A + (Bk ^ {T}) ^ {2} = A ^ {2} -ABk ^ {T} - (Bk ^ {T}) [A -Bk ^ {T}] = A ^ {2} -ABk ^ {T} -Bk ^ {T} A_ {CL} vdots (A_ {CL}) ^ {n} & = (A- Bk ^ {T}) ^ {n} = A ^ {n} -A ^ {n-1} Bk ^ {T} -A ^ {n-2} Bk ^ {T} A_ {CL} - cdots - Bk ^ {T} A_ {CL} ^ {n-1} end {zarovnáno}}}

Nahrazení předchozích rovnic do ${ displaystyle Delta (A_ {CL})}$ výnosy

{ displaystyle { begin {aligned} Delta (A_ {CL}) & = (A ^ {n} -A ^ {n-1} Bk ^ {T} -A ^ {n-2} Bk ^ {T } A_ {CL} - cdots -Bk ^ {T} A_ {CL} ^ {n-1}) + cdots + alpha _ {2} (A ^ {2} -ABk ^ {T} -Bk ^ {T} A_ {CL}) + alpha _ {1} (A-Bk ^ {T}) + alpha _ {0} I & = (A ^ {n} + alpha _ {n-1 } A ^ {n-1} + cdots + alpha _ {2} A ^ {2} + alpha _ {1} A + alpha _ {0} I) - (A ^ {n-1} Bk ^ {T} + A ^ {n-2} Bk ^ {T} A_ {CL} + cdots + Bk ^ {T} A_ {CL} ^ {n-1}) + cdots - alpha _ {2} (ABk ^ {T} + Bk ^ {T} A_ {CL}) - alpha _ {1} (Bk ^ {T}) & = Delta (A) - (A ^ {n-1} Bk ^ {T} + A ^ {n-2} Bk ^ {T} A_ {CL} + cdots + Bk ^ {T} A_ {CL} ^ {n-1}) - cdots - alpha _ {2 } (ABk ^ {T} + Bk ^ {T} A_ {CL}) - alpha _ {1} (A + Bk ^ {T}) end {zarovnáno}}}

Přepsání výše uvedené rovnice jako maticového součinu a vynechání výrazů

{ displaystyle k ^ {T}}

neobjevuje izolované výnosy

{ displaystyle Delta (A_ {CL}) = Delta (A) - left [B AB cdots A ^ {n-1} B right] left [{ begin {pole } {c} star vdots k ^ {T} end {pole}} vpravo]}

Z Cayley-Hamiltonova věta, ${ displaystyle Delta left (A_ {CL} right) = 0}$ , tím pádem

${ displaystyle left [B AB cdots A ^ {n-1} B right] left [{ begin {array} {c} star vdots k ^ { T} end {array}} right] = Delta (A)}$

Všimněte si, že ${ displaystyle { mathcal {C}} = left [B AB cdots A ^ {n-1} B right]}$ je matice ovladatelnosti systému. Protože je systém ovladatelný, ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ je invertibilní. Tím pádem,

{ displaystyle left [{ begin {array} {c} star vdots k ^ {T} end {array}} right] = { mathcal {C}} ^ {- 1} Delta (A)}

Najít ${ displaystyle k ^ {T}}$ , obě strany lze vynásobit vektorem ${ displaystyle left [{ begin {pole} {ccccc} 0 a 0 & 0 & cdots & 1 end {pole}} doprava]}$ dávat

{ displaystyle left [{ begin {array} {ccccc} 0 a 0 & 0 & cdots & 1 end {array}} right] left [{ begin {array} {c} star vdots k ^ {T} end {array}} right] = left [{ begin {array} {ccccc} 0 & 0 & 0 & cdots & 1 end {array}} right] { mathcal {C}} ^ {- 1} Delta (A)}

Tím pádem,

{ displaystyle k ^ {T} = left [{ begin {array} {ccccc} 0 a 0 & 0 & cdots & 1 end {array}} right] { mathcal {C}} ^ {- 1} Delta (A )}

Příklad

Zvážit^[4]

${ displaystyle { dot {x}} = left [{ begin {array} {cc} 1 & 1 1 & 2 end {array}} right] x + left [{ begin {array} {c} 1 0 end {array}} right] u}$

Z charakteristického polynomu víme ${ displaystyle A}$ že systém je od té doby nestabilní ${ displaystyle det (sI-A) = (s-1) (s-2) -1 = s ^ {2} -3s + 1}$ matice ${ displaystyle A}$ bude mít pouze kladná vlastní čísla. Abychom stabilizovali systém, vložíme zisk zpětné vazby ${ displaystyle K = left [{ begin {array} {cc} k_ {1} & k_ {2} end {array}} right].}$

Z Ackermannova vzorce můžeme najít matici ${ displaystyle k}$ která změní systém tak, aby se jeho charakteristická rovnice rovnala požadovanému polynomu. Předpokládejme, že chceme ${ displaystyle Delta _ { text {požadovaný}} (s) = s ^ {2} + 11s + 30}$ .

Tím pádem, ${ displaystyle Delta _ { text {požadovaný}} (A) = A ^ {2} + 11A + 30I}$ a výpočet výtěžků matice řiditelnosti

{ displaystyle { mathcal {C}} = left [{ begin {array} {cc} B&AB end {array}} right] = left [{ begin {array} {cc} 1 & 1 0 a 1 end {array}} right]}

a

{ displaystyle { mathcal {C}} ^ {- 1} = left [{ begin {array} {cc} 1 & -1 0 & 1 end {array}} right].}

Také to máme ${ displaystyle A ^ {2} = left [{ begin {array} {cc} 2 & 3 3 & 5 end {array}} right].}$

Nakonec z Ackermannova vzorce

{ displaystyle k ^ {T} = doleva [{ začátek {pole} {cc} 0 a 1 konec {pole}} doprava] doleva [{ začátek {pole} {cc} 1 & -1 0 a 1 end {array}} right] left [ left [{ begin {array} {cc} 2 & 3 3 & 5 end {array}} right] +11 left [{ begin {array} {cc} 1 & 1 1 & 2 end {array}} right] + 30I right]}

{ displaystyle k ^ {T} = left [{ begin {array} {cc} 0 & 1 end {array}} right] left [{ begin {array} {cc} 1 & -1 0 & 1 end {array}} right] left [{ begin {array} {cc} 43 & 14 14 & 57 end {array}} right] = left [{ begin {array} {cc} 0 & 1 end { pole}} doprava] doleva [{ začátek {pole} {cc} 29 a -43 14 a 57 konec {pole}} doprava]}

{ displaystyle k ^ {T} = doleva [{ začátek {pole} {cc} 14 a 57 konec {pole}} doprava]}

Reference

^ Ackermann, J. (1972). „Der Entwurf linearer Regelungssysteme im Zustandsraum“ (PDF). At - Automatisierungstechnik. 20 (1–12). doi:10.1524 / auto.1972.20.112.297. ISSN 2196-677X. S2CID 111291582.
^ Teorie a design moderního řídicího systému, 2. vydání, Stanley M. Shinners
^ Ackermann, J. E. (2009). "Pole Placement Control". Řídicí systémy, robotika a automatizace. Unbehauen, Heinz. Oxford: Eolss Publishers Co. Ltd. ISBN 9781848265905. OCLC 703352455.
^ „Téma č. 13: 16.31 Zpětná vazba“ (PDF). Web.mit.edu. Citováno 2017-07-06.

Viz také

Plná zpětná vazba stavu

externí odkazy

Kapitola o Ackermannově formuli na Wikibooku řídicích systémů a řídicí techniky

[1] Ackermann, J. (1972). „Der Entwurf linearer Regelungssysteme im Zustandsraum“ (PDF). At - Automatisierungstechnik. 20 (1–12). doi:10.1524 / auto.1972.20.112.297. ISSN 2196-677X. S2CID 111291582.

[2] Teorie a design moderního řídicího systému, 2. vydání, Stanley M. Shinners

[3] Ackermann, J. E. (2009). "Pole Placement Control". Řídicí systémy, robotika a automatizace. Unbehauen, Heinz. Oxford: Eolss Publishers Co. Ltd. ISBN 9781848265905. OCLC 703352455.

[4] „Téma č. 13: 16.31 Zpětná vazba“ (PDF). Web.mit.edu. Citováno 2017-07-06.

[1]

[2]

[3]

[4]