Fuhrmannův trojúhelník - Fuhrmann triangle

Fuhrmannův trojúhelník (červený): ${ displaystyle trojúhelník M_ {c} ^ { prime} M_ {b} ^ { prime} M_ {a} ^ { prime}}$
body středního oblouku: ${ displaystyle M_ {a}, M_ {b}, M_ {c}}$

Fuhrmannův trojúhelník (červený): ${ displaystyle trojúhelník M_ {c} ^ { prime} M_ {b} ^ { prime} M_ {a} ^ { prime}}$
${ displaystyle trojúhelník M_ {c} ^ { prime} M_ {b} ^ { prime} M_ {a} ^ { prime} sim trojúhelník M_ {a} M_ {b} M_ {c}}$

The Fuhrmannův trojúhelník, pojmenoval podle Wilhelm Fuhrmann (1833–1904), je speciální trojúhelník založený na daném libovolném trojúhelníku.

Pro daný trojúhelník ${ displaystyle trojúhelník ABC}$ a jeho obvod středy oblouků nad stranami trojúhelníku jsou označeny ${ displaystyle M_ {a}, M_ {b}, M_ {c}}$. Tyto střední body se odrazí na přidružených stranách trojúhelníku, čímž se získají body ${ displaystyle M_ {a} ^ { prime}, M_ {b} ^ { prime}, M_ {c} ^ { prime}}$, který tvoří Fuhrmannův trojúhelník.^[1][2]

Circikruh Fuhrmannova trojúhelníku je Fuhrmann kruh. Furhmannův trojúhelník je navíc podobný trojúhelníku tvořenému středními obloukovými body ${ displaystyle trojúhelník M_ {c} ^ { prime} M_ {b} ^ { prime} M_ {a} ^ { prime} sim trojúhelník M_ {a} M_ {b} M_ {c}}$.^[1] Pro oblast Fuhrmannova trojúhelníku platí následující vzorec:^[3]

${ displaystyle | trojúhelník M_ {c} ^ { prime} M_ {b} ^ { prime} M_ {a} ^ { prime} | = { frac {(a + b + c) | OI | ^ {2}} {4R}} = { frac {(a + b + c) (R-2r)} {4}}}$

Kde ${ displaystyle O}$ označuje circumcenter daného trojúhelníku ${ displaystyle trojúhelník ABC}$ a ${ displaystyle R}$ jeho poloměr stejně jako ${ displaystyle I}$ označující stimul a ${ displaystyle r}$ jeho poloměr. Kvůli Eulerova věta jeden také má ${ displaystyle | OI | ^ {2} = R (R-2r)}$. Následující rovnice platí pro strany Fuhrmannova trojúhelníku:^[3]

${ displaystyle a ^ { prime} = { sqrt { frac {(-a + b + c) (a + b + c)} {bc}}} | OI |}$

${ displaystyle b ^ { prime} = { sqrt { frac {(a-b + c) (a + b + c)} {ac}}} | OI |}$

${ displaystyle c ^ { prime} = { sqrt { frac {(a + b-c) (a + b + c)} {ab}}} | OI |}$

Kde ${ displaystyle a, b, c}$ označit strany daného trojúhelníku ${ displaystyle trojúhelník ABC}$ a ${ displaystyle a ^ { prime}, b ^ { prime}, c ^ { prime}}$ strany Fuhrmannova trojúhelníku (viz obrázek).

Reference