Frostmanovo lemma - Frostman lemma

v matematika a konkrétněji v teorie fraktálních dimenzí, Frostmanovo lemma poskytuje pohodlný nástroj pro odhad Hausdorffova dimenze sad.

Lemma: Nechat A být Borel podmnožina Rⁿa nechte s > 0. Pak jsou ekvivalentní následující:

• H^s(A)> 0, kde H^s označuje s-dimenzionální Hausdorffovo opatření.
• Existuje (nepodepsané) Borelův rozměr μ uspokojující μ(A)> 0 a tak dále

${displaystyle mu (B (x, r)) leq r ^ {s}}$

platí pro všechny X ∈ Rⁿ a r>0.

Otto Frostman dokázal toto lemma pro uzavřené množiny A v rámci své disertační práce na Lund University v roce 1935. Zobecnění na Borelovy množiny je více zapojeno a vyžaduje teorii Suslin soupravy.

Užitečný důsledek Frostmanova lematu vyžaduje pojmy s- kapacita sady Borel A ⊂ Rⁿ, který je definován

${displaystyle C_ {s} (A): = sup {Bigl {} {Bigl (} int _ {A imes A} {frac {dmu (x), dmu (y)} {| xy | ^ {s}}} {Bigr)} ^ {- 1}: mu {ext {je míra Borel a}} mu (A) = 1 {Bigr}}.}$

(Zde vezmeme inf ∅ = ∞ a¹⁄_∞ = 0. Jako předtím, míra ${displaystyle mu}$ je nepodepsáno.) Z Frostmanova lematu vyplývá, že pro Borela A ⊂ Rⁿ

${displaystyle mathrm {dim} _ {H} (A) = sup {sgeq 0: C_ {s} (A)> 0}.}$

Reference

• Mattila, Pertti (1995), Geometrie množin a měr v euklidovských prostorech, Cambridge studia pokročilé matematiky, 44, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-65595-8, PAN  1333890

Tento matematická analýza –Vztahující se článek je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.