Dopředu opatření - Forward measure

v finance, a T-předběžné opatření je cenové opatření absolutně kontinuální s ohledem na a rizikově neutrální opatření, ale spíše než používat peněžní trh jako numeraire, používá dluhopis se splatností T. Průkopníkem bylo použití dopředného opatření Farshid Jamshidian (1987), a později použitý jako prostředek pro výpočet ceny opce na dluhopisy.^[1]

Matematická definice

Nechat^[2]

{displaystyle B (T) = exp left (int _ {0} ^ {T} r (u), duight)}

být číslem bankovního účtu nebo účtu peněžního trhu a

{displaystyle D (T) = 1 / B (T) = exp left (-int _ {0} ^ {T} r (u), duight)}

být diskontním faktorem na trhu v době 0 pro splatnost T. Li ${displaystyle Q _ {*}}$ je opatření neutrální vůči riziku, pak opatření vpřed ${displaystyle Q_ {T}}$ je definován prostřednictvím Derivát Radon – Nikodym dána

{displaystyle {frac {dQ_ {T}} {dQ _ {*}}} = {frac {1} {B (T) E_ {Q _ {*}} [1 / B (T)]}} = {frac {D (T)} {E_ {Q _ {*}} [D (T)]}}.}

To znamená, že forwardové a rizikově neutrální opatření se shodují, když jsou úrokové sazby deterministické. Toto je také zvláštní forma změna čísla vzorec změnou čísla z peněžního trhu nebo bankovního účtu B(t) na a T- splatnost dluhopisu P(t,T). Ve skutečnosti, pokud obecně

{displaystyle P (t, T) = E_ {Q _ {*}} vlevo [{frac {B (t)} {B (T)}} | {mathcal {F}} (t) ight) = E_ {Q_ { *}} vlevo [{frac {D (T)} {D (t)}} | {mathcal {F}} (t) ight]}

je cena dluhopisu s nulovým kupónem v čase t pro splatnost T, kde ${displaystyle {mathcal {F}} (t)}$ je filtrace označující informace o trhu v čase t, pak můžeme psát

{displaystyle {frac {dQ_ {T}} {dQ _ {*}}} = {frac {B (0) P (T, T)} {B (T) P (0, T)}}}

ze kterého je skutečně jasné, že dopředu T opatření je spojeno s T- splatnost dluhopisu s nulovým kupónem jako numeraire. Pro podrobnější diskusi viz Brigo a Mercurio (2001).

Důsledky

Název „forward measure“ vychází ze skutečnosti, že podle forwardového opatření forwardové ceny jsou martingales, skutečnost poprvé pozorována Gemanem (1989) (který je odpovědný za formální definování opatření).^[3] Srovnejte s cenami futures, což jsou martingales na základě rizika neutrálního opatření. Pokud jsou úrokové sazby deterministické, znamená to, že forwardové ceny a ceny futures jsou stejné.

Například diskontovaná cena akcií je martingálem v rámci rizika neutrálního opatření:

{displaystyle S (t) D (t) = E_ {Q _ {*}} [D (T) S (T) | {mathcal {F}} (t)].,}

Forwardová cena je dána ${displaystyle F_ {S} (t, T) = {frac {S (t)} {P (t, T)}}}$ . Takže máme ${displaystyle F_ {S} (T, T) = S (T)}$

{displaystyle F_ {S} (t, T) = {frac {E_ {Q _ {*}} [D (T) S (T) | {mathcal {F}} (t)]} {D (t) P ( t, T)}} = E_ {Q_ {T}} [F_ {S} (T, T) | {mathcal {F}} (t)] {frac {E_ {Q _ {*}} [D (T) | {mathcal {F}} (t)]} {D (t) P (t, T)}}}

použitím derivátu Radon-Nikodym ${displaystyle {frac {dQ_ {T}} {dQ _ {*}}}}$ a rovnost ${displaystyle F_ {S} (T, T) = S (T)}$ . Poslední člen se rovná jednotě podle definice ceny dluhopisu, abychom dostali

{displaystyle F_ {S} (t, T) = E_ {Q_ {T}} [F_ {S} (T, T) | {mathcal {F}} (t)].,}

Reference

^ Jamshidian, Farshid (1989), „Exact Bond Bond Cenový vzorec“, The Journal of Finance, 44: 205–209, doi:10.1111 / j.1540-6261.1989.tb02413.x
^ Martingaleovy metody ve finančním modelování. 2. vyd. New York: Springer-Verlag, 2004. Tisk.
^ Geman, H. (1989) Význam forwardové neutrální pravděpodobnosti ve stochastickém přístupu úrokových sazeb. Pracovní dokument, ESSEC.

Damiano Brigo, Fabio Mercurio (2001). Modely úrokových sazeb - teorie a praxe s úsměvem, inflací a úvěrem (2. vydání, vydání z roku 2006). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.

Viz také

[1] Jamshidian, Farshid (1989), „Exact Bond Bond Cenový vzorec“, The Journal of Finance, 44: 205–209, doi:10.1111 / j.1540-6261.1989.tb02413.x

[2] Martingaleovy metody ve finančním modelování. 2. vyd. New York: Springer-Verlag, 2004. Tisk.

[3] Geman, H. (1989) Význam forwardové neutrální pravděpodobnosti ve stochastickém přístupu úrokových sazeb. Pracovní dokument, ESSEC.

[1]

[2]

[3]