Bezmocné magnetické pole - Force-free magnetic field

A magnetické pole bez síly je magnetické pole který vzniká, když plazma tlak je tak malý, vzhledem k magnetický tlak, že plazmový tlak může být ignorován, a tak je uvažován pouze magnetický tlak. Pro pole bez síly platí hustota elektrického proudu je buď nula, nebo rovnoběžná s magnetickým polem. Název „bez síly“ vychází z možnosti zanedbávat sílu z plazmy.

Základní rovnice

Zanedbávání účinků gravitace, Navier-Stokesova rovnice plazma v ustáleném stavu čte

${ displaystyle 0 = - nabla p + mathbf {j} krát mathbf {B},}$

kde ${ displaystyle p}$ je tepelný tlak, ${ displaystyle mathbf {B}}$ je magnetické pole a ${ displaystyle mathbf {j}}$ je elektrický proud. Za předpokladu, že tlak plynu ${ displaystyle p}$ je malý ve srovnání s magnetickým tlakem, tj.

${ displaystyle p ll B ^ {2} / 2 mu}$

pak může být tlakový člen zanedbán. Tady ${ displaystyle mu}$ je magnetická permeabilita plazmy. Proto,

${ displaystyle mathbf {j} krát mathbf {B} = 0}$.

Z této rovnice vyplývá, že:${ displaystyle mu _ {0} mathbf {j} = alpha mathbf {B}}$. např. the proudová hustota je buď nula nebo rovnoběžná s magnetické pole, a kde ${ displaystyle alpha}$ je prostorová proměnná funkce, která se má určit. Kombinace této rovnice s Maxwellovy rovnice:

${ displaystyle nabla times mathbf {B} = mu mathbf {j}}$

${ displaystyle nabla cdot mathbf {B} = 0}$

a vektorová identita:

${ displaystyle nabla cdot ( nabla times mathbf {B}) = 0}$

vede k dvojici rovnic pro ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle mathbf {B}}$:

${ displaystyle mathbf {B} cdot nabla alpha = 0,}$

${ displaystyle nabla times mathbf {B} = alpha mathbf {B}.}$

Fyzické příklady

V koróna Slunce může být poměr tlaku plynu k magnetickému tlaku místně řádově 0,01 nebo nižší a v těchto oblastech lze magnetické pole popsat jako bezsilné.

Matematické limity

• Pokud je proudová hustota identicky nulová, pak magnetické pole je potenciál, tj spád a skalární magnetický potenciál.

Zejména pokud ${ displaystyle mathbf {j} = 0}$

pak ${ displaystyle nabla times mathbf {B} = 0}$ což z toho vyplývá ${ displaystyle mathbf {B} = nabla phi}$.

Nahrazení tohoto do jednoho z Maxwellovy rovnice, ${ displaystyle nabla cdot mathbf {B} = 0}$, má za následek Laplaceova rovnice,

${ displaystyle nabla ^ {2} phi = 0}$,

které lze často snadno vyřešit v závislosti na přesných okrajových podmínkách.

Tento limit se obvykle označuje jako případ potenciálního pole.

• Pokud hustota proudu není nula, musí být rovnoběžná s magnetickým polem, tj.

${ displaystyle mu mathbf {j} = alpha mathbf {B}}$ což z toho vyplývá ${ displaystyle nabla times mathbf {B} = alpha mathbf {B}}$, kde ${ displaystyle alpha}$ je nějaká skalární funkce.

pak máme, shora

${ displaystyle mathbf {B} cdot nabla alpha = 0}$

${ displaystyle nabla times mathbf {B} = alpha mathbf {B}}$ , což z toho vyplývá

${ displaystyle nabla times ( nabla times mathbf {B}) = nabla times ( alpha mathbf {B})}$

Pak existují dva případy:

Případ 1: Proporcionalita mezi hustotou proudu a magnetickým polem je všude konstantní.

${ displaystyle nabla times ( alpha mathbf {B}) = alpha ( nabla times mathbf {B}) = alpha ^ {2} mathbf {B}}$

a také

${ displaystyle nabla times ( nabla times mathbf {B}) = nabla ( nabla cdot mathbf {B}) - nabla ^ {2} mathbf {B} = - nabla ^ { 2} mathbf {B}}$,

a tak

${ displaystyle - nabla ^ {2} mathbf {B} = alpha ^ {2} mathbf {B}}$

Tohle je Helmholtzova rovnice.

Případ 2: Proporcionalita mezi hustotou proudu a magnetickým polem je funkcí polohy.

${ displaystyle nabla times ( alpha mathbf {B}) = alpha ( nabla times mathbf {B}) + nabla alpha times mathbf {B} = alpha ^ {2} mathbf {B} + nabla alpha times mathbf {B}}$

a výsledkem jsou spojené rovnice:

${ displaystyle nabla ^ {2} mathbf {B} + alpha ^ {2} mathbf {B} = mathbf {B} times nabla alpha}$

a

${ displaystyle mathbf {B} cdot nabla alpha = 0}$

V tomto případě rovnice nemají obecné řešení a obvykle musí být řešeny numericky.

Viz také

• Laplaceova rovnice
• Helmholtzova rovnice

Reference

• Low, Boon Chye, “Bezmocné magnetické pole^{[trvalý mrtvý odkaz ]}". Listopad 2000.