Finanční modely s dlouhým rozdělením a seskupením volatility - Financial models with long-tailed distributions and volatility clustering

Finanční modely s dlouhým rozdělením a seskupením volatility byly zavedeny k překonání problémů s realismem klasických finančních modelů. Tyto klasické modely finanční časové řady obvykle předpokládat homoskedasticita a normálnost neumím vysvětlit stylizované jevy jako např šikmost, těžké ocasy, a seskupení volatility empirických výnosů aktiv ve financích. V roce 1963 Benoit Mandelbrot nejprve použil stabilní (nebo ${displaystyle alpha}$-stabilní) distribuce modelovat empirická rozdělení, která mají vlastnost šikmosti a těžkého ocasu. Od té doby ${displaystyle alpha}$-stabilní distribuce mají nekonečno ${displaystyle p}$-tý okamžik pro všechny ${displaystyle p> alpha}$byly pro překonání tohoto omezení stabilní distribuce navrženy temperované stabilní procesy.

Na druhou stranu, GARCH byly vyvinuty modely vysvětlující seskupení volatility. V modelu GARCH se inovační (nebo zbytkové) distribuce považují za standardní normální distribuci, přestože je tento předpoklad často empiricky odmítnut. Z tohoto důvodu byly vyvinuty modely GARCH s neobvyklou distribucí inovací.

Bylo vyvinuto mnoho finančních modelů se stabilním a temperovaným stabilním rozdělením spolu s klastrováním volatility a aplikováno na řízení rizik, ceny opcí a výběr portfolia.

Nekonečně dělitelné distribuce

Náhodná proměnná ${displaystyle Y}$ je nazýván nekonečně dělitelný pokud pro každého ${displaystyle n = 1,2, tečky}$, existují nezávislé a identicky distribuované náhodné proměnné

${displaystyle Y_ {n, 1}, Y_ {n, 2}, tečky, Y_ {n, n},}$

takhle

${displaystyle Y {stackrel {mathrm {d}} {=}} součet _ {k = 1} ^ {n} Y_ {n, k} ,,}$

kde ${displaystyle {stackrel {mathrm {d}} {=}}}$ označuje rovnost v distribuci.

A Borelův rozměr ${displaystyle u}$ na ${displaystyle mathbb {R}}$ se nazývá a Lévyho opatření -li ${displaystyle u ({0}) = 0}$ a

${displaystyle int _ {mathbb {R}} (1klín | x ^ {2} |), u (dx)$

Li ${displaystyle Y}$ je nekonečně dělitelný, pak charakteristická funkce${displaystyle phi _ {Y} (u) = E [e ^ {iuY}]}$ darováno

${displaystyle phi _ {Y} (u) = exp left (igamma u- {frac {1} {2}} sigma ^ {2} u ^ {2} + int _ {- infty} ^ {infty} (e ^ {iux} -1-iux1_ {| x | leq 1}), u (dx) ight), sigma geq 0, ~~ gama v mathbb {R}}$

kde ${displaystyle sigma geq 0}$, ${displaystyle gamma in mathbb {R}}$ a ${displaystyle u}$ je Lévyho míra. Tady trojnásobek ${displaystyle (sigma ^ {2}, u, gama)}$ se nazývá a Lévyho trojice ${displaystyle Y}$. Tento triplet je jedinečný. Naopak pro jakoukoli volbu ${displaystyle (sigma ^ {2}, u, gama)}$ splňující výše uvedené podmínky existuje nekonečně dělitelná náhodná proměnná ${displaystyle Y}$ jehož charakteristická funkce je uvedena jako ${displaystyle phi _ {Y}}$.

α-Stabilní distribuce

Náhodná proměnná se skutečnou hodnotou ${displaystyle X}$ se říká, že má${displaystyle alpha}$-stabilní distribuce pokud pro nějaké ${displaystyle ngeq 2}$, existuje kladné číslo ${displaystyle C_ {n}}$ a skutečné číslo ${displaystyle D_ {n}}$ takhle

${displaystyle X_ {1} + cdots + X_ {n} {stackrel {mathrm {d}} {=}} C_ {n} X + D_ {n} ,,}$

kde ${displaystyle X_ {1}, X_ {2}, tečky, X_ {n}}$ jsou nezávislé a mají stejné rozdělení jako distribuce ${displaystyle X}$. Všechny stabilní náhodné proměnné jsou nekonečně dělitelné. Je známo že ${displaystyle C_ {n} = n ^ {1 / alpha}}$ pro některé ${displaystyle 0$. Stabilní náhodná proměnná ${displaystyle X}$ s indexem ${displaystyle alpha}$ se nazývá${displaystyle alpha}$-stabilní náhodná proměnná.

Nechat ${displaystyle X}$ být ${displaystyle alpha}$-stabilní náhodná proměnná. Pak charakteristická funkce ${displaystyle phi _ {X}}$ z ${displaystyle X}$ darováno

${displaystyle phi _ {X} (u) = {egin {cases} exp left (imu u-sigma ^ {alpha} | u | ^ {alpha} left (1-i eta operatorname {sgn} (u) an left ( {frac {pi alpha} {2}} ight) ight) ight) & {ext {if}} alpha in (0,1) cup (1,2) exp left (imu u-sigma | u | left (1 + i eta operatorname {sgn} (u) left ({frac {2} {pi}} ight) ln (| u |) ight) ight) & {ext {if}} alpha = 1 exp left (imu u- {frac {1} {2}} sigma ^ {2} u ^ {2} ight) & {ext {if}} alpha = 2end {cases}}}$

pro některé ${displaystyle mu in mathbb {R}}$, ${displaystyle sigma> 0}$ a ${displaystyle eta in [-1,1]}$.

Temperované stabilní distribuce

Nekonečně dělitelné rozdělení se nazývá a klasický temperovanýstabilní (CTS) distribuce s parametrem${displaystyle (C_ {1}, C_ {2}, lambda _ {+}, lambda _ {-}, alfa)}$, pokud je to trojice Lévy ${displaystyle (sigma ^ {2}, u, gama)}$ darováno${displaystyle sigma = 0}$, ${displaystyle gamma in mathbb {R}}$ a

${displaystyle u (dx) = left ({frac {C_ {1} e ^ {- lambda _ {+} x}} {x ^ {1 + alpha}}} 1_ {x> 0} + {frac {C_ { 2} e ^ {- lambda _ {-} | x |}} {| x | ^ {1 + alpha}}} 1_ {x <0} ight), dx,}$

kde ${displaystyle C_ {1}, C_ {2}, lambda _ {+}, lambda _ {-}> 0}$ a ${displaystyle alpha <2}$.

Tato distribuce byla poprvé představena pod názvem Zkrácené Lévy lety^[1] a byl nazýván temperovaný stabilní nebo KoBoL rozdělení.^[2] Zejména pokud${displaystyle C_ {1} = C_ {2} = C> 0}$, pak se tato distribuce nazývá CGMYdistribuce, která byla použita pro finanční modelování.^[3]

Charakteristická funkce ${displaystyle phi _ {CTS}}$ pro temperované stabilizované rozdělení je dáno

${displaystyle phi _ {CTS} (u) = exp left (iumu + C_ {1} Gamma (-alpha) ((lambda _ {+} - iu) ^ {alpha} -lambda _ {+} ^ {alpha}) + C_ {2} Gamma (-alpha) ((lambda _ {-} + iu) ^ {alpha} -lambda _ {-} ^ {alpha}) ight),}$

pro některé ${displaystyle mu in mathbb {R}}$. Navíc, ${displaystyle phi _ {CTS}}$ lze rozšířit na region ${displaystyle {zin mathbb {C}: operatorname {Im} (z) in (-lambda _ {-}, lambda _ {+})}}$.

Rosiński zobecnil distribuci CTS pod názvemtemperované stabilní rozdělení. Ve financích se používá distribuce KR, která je podtřídou zobecněných temperovaných stabilních distribucí Rosińského.^[4]

Nekonečně dělitelné rozdělení se nazývá a modifikovaná temperovaná stabilní distribuce (MTS) s parametrem ${displaystyle (C, lambda _ {+}, lambda _ {-}, alpha)}$, pokud je to trojice Lévy ${displaystyle (sigma ^ {2}, u, gama)}$ darováno${displaystyle sigma = 0}$, ${displaystyle gamma in mathbb {R}}$ a

${displaystyle u (dx) = Rozštěp ({frac {q_ {alpha} (lambda _ {+} | x |)} {x ^ {alpha +1}}} 1_ {x> 0} + {frac {q_ {alfa } (lambda _ {-} | x |)} {| x | ^ {alpha +1}}} 1_ {x <0} ight), dx,}$

kde ${displaystyle C, lambda _ {+}, lambda _ {-}> 0, alfa <2}$ a

${displaystyle q_ {alpha} (x) = x ^ {frac {alpha +1} {2}} K_ {frac {alpha +1} {2}} (x).}$

Tady ${displaystyle K_ {p} (x)}$ je modifikovaná Besselova funkce druhého druhu. Distribuce MTS není zahrnuta do třídy Rosińského generalizovaných temperovaných stabilních distribucí.^[5]

Shlukování volatility se stabilními a temperovanými stabilními inovacemi

Aby bylo možné popsat účinek seskupení volatility procesu vrácení aktiva, GARCH lze použít model. V modelu GARCH inovace (${displaystyle ~ epsilon _ {t} ~}$) se předpokládá, že ${displaystyle ~ epsilon _ {t} = sigma _ {t} z_ {t} ~}$, kde${displaystyle z_ {t} sim iid ~ N (0,1)}$ a kde série ${displaystyle sigma _ {t} ^ {2}}$ jsou modelovány uživatelem

${displaystyle sigma _ {t} ^ {2} = alpha _ {0} + alpha _ {1} epsilon _ {t-1} ^ {2} + cdots + alpha _ {q} epsilon _ {tq} ^ {2 } = alfa _ {0} + součet _ {i = 1} ^ {q} alfa _ {i} epsilon _ {ti} ^ {2}}$

a kde ${displaystyle ~ alpha _ {0}> 0 ~}$ a ${displaystyle alpha _ {i} geq 0, ~ i> 0}$.

Předpoklad však ${displaystyle z_ {t} sim iid ~ N (0,1)}$ je často empiricky odmítnut. Z tohoto důvodu byly vyvinuty nové modely GARCH se stabilní nebo temperovanou stabilní distribuovanou inovací. Modely GARCH s ${displaystyle alpha}$- byly zavedeny stabilní inovace.^[6][7][8] Následně byly vyvinuty modely GARCH s temperovanými stabilními inovacemi.^[5][9]

Námitky proti používání stabilního rozdělení ve finančních modelech jsou uvedeny v ^[10][11]

Poznámky

Reference

• B. B. Mandelbrot (1963) „Nové metody ve statistické ekonomii“, Journal of Political Economy, 71, 421-440
• Svetlozar T. Rachev, Stefan Mittnik (2000) Stabilní Paretianovy modely v oblasti financíWiley
• G. Samorodnitsky a M. S. Taqqu, Stabilní negaussovské náhodné procesy, Chapman & Hall / CRC.
• Boyarchenko, S. Z. Levendorskiǐ (2000) „Cena opcí pro zkrácené Lévyho procesy“, International Journal of Theoretical and Applied Finance, 3 (3), 549–552.
• J. Rosiński (2007) „Temperování stabilních procesů“, Stochastické procesy a jejich aplikace, 117 (6), 677–707.