Filtr (velká vířivá simulace) - Filter (large eddy simulation) - Wikipedia

Filtrování v kontextu velká vířivá simulace (LES) je matematická operace určená k odstranění řady malých měřítek z řešení do Navier-Stokesovy rovnice. Protože hlavní obtíže při simulaci turbulentních toků pocházejí ze širokého rozsahu délkových a časových měřítek, tato operace zlevňuje simulaci turbulentního proudění snížením rozsahu měřítek, které je třeba vyřešit. Provoz filtru LES je nízkoprůchodový, což znamená, že filtruje váhy spojené s vysokými frekvencemi.

Homogenní filtry

Rychlostní pole produkované a přímá numerická simulace (DNS) z homogenní rozpadající se turbulence. Velikost domény je

L 3

.

Stejné pole rychlosti DNS filtrované pomocí a krabicový filtr a

Δ = L /32

Stejné pole rychlosti DNS filtrované pomocí a krabicový filtr a

Δ = L /16

Definice ve fyzickém prostoru

Operaci nízkoprůchodového filtrování používanou v LES lze například použít na prostorové a časové pole ${ displaystyle phi ({ boldsymbol {x}}, t)}$ . Operace LES filtru může být prostorová, časová nebo obojí. Filtrované pole označené čárkou je definováno jako:^[1]^[2]

{ displaystyle { overline { phi ({ boldsymbol {x}}, t)}} = displaystyle { int _ {- infty} ^ { infty}} int _ {- infty} ^ { infty} phi ({ boldsymbol {r}}, t ^ { prime}) G ({ boldsymbol {x}} - { boldsymbol {r}}, tt ^ { prime}) dt ^ { prime} d { boldsymbol {r}},}

kde ${ displaystyle G}$ je konvoluční jádro jedinečné pro použitý typ filtru. To lze zapsat jako konvoluční operaci:

{ displaystyle { overline { phi}} = G hvězda phi.}

Filtrační jádro ${ displaystyle G}$ používá mezní délku a časové stupnice, označené ${ displaystyle Delta}$ a ${ displaystyle tau _ {c},}$ resp. Váhy menší než tyto jsou vyloučeny z ${ displaystyle { overline { phi}}.}$ Pomocí této definice libovolné pole ${ displaystyle phi}$ lze rozdělit na filtrovanou a podfiltrovanou (označenou prvočíslem) část, jako

{ displaystyle phi = { bar { phi}} + phi ^ { prime}.}

To lze také zapsat jako konvoluční operaci,

{ displaystyle phi ^ { prime} = vlevo (1-G vpravo) hvězda phi.}

Definice ve spektrálním prostoru

Operace filtrování odstraní váhy spojené s vysokými frekvencemi a operaci lze odpovídajícím způsobem interpretovat Fourierův prostor. Pro skalární pole ${ displaystyle phi ({ boldsymbol {x}}, t),}$ the Fourierova transformace z ${ displaystyle phi}$ je ${ displaystyle { hat { phi}} ({ boldsymbol {k}}, omega),}$ funkce ${ displaystyle { boldsymbol {k}},}$ - číslo prostorové vlny a - ${ displaystyle omega,}$ časová frekvence. ${ displaystyle { hat { phi}}}$ lze filtrovat podle odpovídajících Fourierova transformace jádra filtru, označeno ${ displaystyle { hat {G}} ({ boldsymbol {k}}, omega):}$

{ displaystyle { overline { hat { phi}}} ({ boldsymbol {k}}, omega) = { hat { phi}} ({ boldsymbol {k}}, omega) { klobouk {G}} ({ boldsymbol {k}}, omega)}

nebo,

{ displaystyle { overline { hat { phi}}} = { hat {G}} { hat { phi}}.}

Šířka filtru ${ displaystyle Delta}$ má přidružené číslo mezní vlny ${ displaystyle k_ {c},}$ a šířku dočasného filtru ${ displaystyle tau _ {c}}$ má také přidruženou mezní frekvenci ${ displaystyle omega _ {c}.}$ Nefiltrovaná část ${ displaystyle { hat { phi}}}$ je:

{ displaystyle { hat { phi ^ { prime}}} = (1 - { hat {G}}) { hat { phi}}.}

Spektrální interpretace filtrační operace je nezbytná pro filtrační operaci ve velké vířivé simulaci, jako je spektra turbulentních toků je ústředním prvkem subgridových modelů LES, které rekonstruují účinek dílčích filtrů (nejvyšší frekvence). Jednou z výzev v modelování podsítí je efektivně napodobovat kaskádu kinetické energie od nízkých po vysoké frekvence. Díky tomu jsou spektrální vlastnosti implementovaného filtru LES velmi důležité pro úsilí modelování v subgrid.

Vlastnosti homogenního filtru

Homogenní filtry LES musí při použití na Navier-Stokesovy rovnice splňovat následující sadu vlastností.^[1]

1. Zachování konstant

Hodnota filtrované konstanty se musí rovnat konstantě,

{ displaystyle { overline {a}} = a,}

z čehož vyplývá,

{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} G ({ boldsymbol { xi}}, t ^ { prime}) d ^ { 3} { boldsymbol { xi}} dt ^ { prime} = 1.}

2. Linearita

{ displaystyle { overline { phi + psi}} = { overline { phi}} + { overline { psi}}.}

3. Komutace s deriváty

{ displaystyle { overline { frac { částečné phi} { částečné s}}} = { frac { částečné { overline { phi}}} { částečné}}, qquad s = { boldsymbol {x}}, t.}

Pokud je zavedena notace pro komutaci operátoru

{ displaystyle [f, g]}

pro dva libovolné operátory

{ displaystyle f}

a

{ displaystyle g}

, kde

{ displaystyle [f, g] phi = f cirkus g ( phi) -g cirkus f ( phi) = f (g ( phi)) - g (f ( phi)),}

pak lze tuto třetí vlastnost vyjádřit jako

{ displaystyle left [G star, { frac { částečné} { částečné s}} doprava] = 0.}

Filtry splňující tyto vlastnosti obecně nejsou Reynolds operátoři, což znamená první:

{ displaystyle { begin {array} {rcl} { overline { overline { phi}}} & neq & { overline { phi}}, G star G star phi = G ^ {2} star phi & neq & G star phi, end {pole}}}

a za druhé,

{ displaystyle { overline { phi ^ { prime}}} = G hvězda (1-G) hvězda phi neq 0.}

Nehomogenní filtry

Implementace filtračních operací pro všechny kromě nejjednodušších toků jsou nehomogenní filtrační operace. To znamená, že tok má buď neperiodické hranice, což způsobuje problémy s určitými typy filtrů, nebo má nekonstantní šířku filtru ${ displaystyle Delta}$ , nebo oboje. To zabrání dojíždění filtru s deriváty a komutační operace vede k několika dalším chybovým podmínkám:

{ displaystyle { begin {pole} {rcl} vlevo [{ frac { částečné} { částečné { boldsymbol {x}}}}, G star right] phi & = & { frac { částečné} { částečné { boldsymbol {x}}}} levé (G star phi pravé) -G star { frac { částečné phi} { částečné { boldsymbol {x}}} } & = & { frac { částečné} { částečné { boldsymbol {x}}}} int _ { Omega} G ({ boldsymbol {x}} - { boldsymbol {r}}, Delta ({ boldsymbol {x}}, t)) phi ({ boldsymbol {r}}, t) d { boldsymbol {r}} - G star { frac { částečný phi} { částečný { boldsymbol {x}}}} & = & vlevo ({ frac { částečné G} { částečné Delta}} hvězda phi doprava) { frac { částečné Delta} { částečné x}} + int _ {d Omega} G (xr, Delta (x, t)) phi (r, t) { boldsymbol {n}} dS end {pole}},}

kde ${ displaystyle { boldsymbol {n}}}$ je vektor kolmý k povrchu hranice ${ displaystyle Omega}$ a ${ displaystyle d Omega.}$ ^[1]

Oba pojmy se objevují kvůli nehomogenitám. První je způsoben prostorovou variací velikosti filtru ${ displaystyle Delta,}$ zatímco druhá je kvůli hranici domény. Podobně komutace filtru ${ displaystyle G}$ s časovou derivací vede k chybovému členu vyplývajícímu z časové změny ve velikosti filtru,

{ displaystyle left [{ frac { částečné} { částečné t}}, G star right] = left ({ frac { částečné G} { částečné Delta}} star phi vpravo) { frac { částečné Delta} { částečné t}}.}

Bylo navrženo několik operací filtrování, které eliminují nebo minimalizují tyto chybové podmínky.^{[Citace je zapotřebí ]}

Klasické velké vířivé simulační filtry

Turbulentní energetické spektrum a účinek filtračních operací ^[3]

Pro prostorovou filtraci ve velké vířivé simulaci se běžně používají tři filtry. Definice ${ displaystyle G ({ boldsymbol {x}}, t)}$ a ${ displaystyle { hat {G}} ({ boldsymbol {k}}, omega),}$ a diskuse o důležitých vlastnostech.^[2]

Boxový filtr

Boxový filtr ve fyzickém a spektrálním prostoru

Jádro filtru ve fyzickém prostoru je dáno vztahem:

{ displaystyle G ({ boldsymbol {x}} - { boldsymbol {r}}) = { begin {cases} { frac {1} { Delta}}, a { text {if}} vlevo | { boldsymbol {x}} - { boldsymbol {r}} right | leq { frac { Delta} {2}}, 0, & { text {jinak}}. end {případy }}}

Jádro filtru ve spektrálním prostoru je dáno vztahem:

{ displaystyle { hat {G}} ({ boldsymbol {k}}) = { frac { sin {({ frac {1} {2}} k Delta)}} {{ frac {1 } {2}} k Delta}}.}

Gaussův filtr ve fyzickém a spektrálním prostoru

Gaussův filtr

Jádro filtru ve fyzickém prostoru je dáno vztahem:

{ displaystyle G ({ boldsymbol {x}} - { boldsymbol {r}}) = left ({ frac {6} { pi Delta ^ {2}}} right) ^ { frac { 1} {2}} exp { left (- { frac {6 ({ boldsymbol {xr}}) ^ {2}} { Delta ^ {2}}} right)}}

Jádro filtru ve spektrálním prostoru je dáno vztahem:

{ displaystyle { hat {G}} ({ boldsymbol {k}}) = exp { left (- { frac {{ boldsymbol {k}} ^ {2} Delta ^ {2}} { 24}} vpravo)}.}

Ostrý spektrální filtr ve fyzickém a spektrálním prostoru

Ostrý spektrální filtr

Jádro filtru ve fyzickém prostoru je dáno vztahem:

{ displaystyle G ({ boldsymbol {x}} - { boldsymbol {r}}) = { frac { sin {( pi ({ boldsymbol {xr}}) / Delta)}} { pi ({ boldsymbol {xr}})}}.}

Jádro filtru ve spektrálním prostoru je dáno vztahem:

{ displaystyle { hat {G}} ({ boldsymbol {k}}) = H left (k_ {c} - left | k right | right), qquad k_ {c} = { frac { pi} { Delta}}.}

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C Sagaut, Pierre (2006). Velká vířivá simulace pro nestlačitelné toky (Třetí vydání.). Springer. ISBN 3-540-26344-6.
^ ^A ^b Pope, Stephen (2000). Turbulentní toky. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59886-6.
^ Laval, Jean-Philippe. „Přednášky o DNS a LES pro mezinárodní magisterský program v turbulencích“ (PDF). Citováno 27. ledna 2020.

[Sagaut_2006-1] A ^b ^C Sagaut, Pierre (2006). Velká vířivá simulace pro nestlačitelné toky (Třetí vydání.). Springer. ISBN 3-540-26344-6.

[Pope_2000-2] A ^b Pope, Stephen (2000). Turbulentní toky. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59886-6.

[3] Laval, Jean-Philippe. „Přednášky o DNS a LES pro mezinárodní magisterský program v turbulencích“ (PDF). Citováno 27. ledna 2020.

[1]

[2]

[3]