Linearizace zpětné vazby - Feedback linearization

Blokové schéma ilustrující zpětnovazební linearizaci nelineárního systému

Linearizace zpětné vazby je běžný přístup používaný v controllingu nelineární systémy. Tento přístup zahrnuje přijít s transformací nelineárního systému na ekvivalentní lineární systém prostřednictvím změny proměnných a vhodného řídicího vstupu. Linearizace zpětné vazby může být aplikována na nelineární systémy formuláře

{ displaystyle { begin {zarovnáno} { dot {x}} & = f (x) + g (x) u qquad & (1) y & = h (x) qquad qquad qquad & ( 2) end {zarovnáno}}}

kde ${ displaystyle x in mathbb {R} ^ {n}}$ je stavový vektor, ${ displaystyle u in mathbb {R} ^ {p}}$ je vektor vstupů a ${ displaystyle y in mathbb {R} ^ {m}}$ je vektor výstupů. Cílem je vyvinout kontrolní vstup

{ displaystyle u = a (x) + b (x) v ,}

který vykresluje lineární mapu vstupů a výstupů mezi novým vstupem ${ displaystyle v}$ a výstup. Potom lze použít strategii řízení vnější smyčky pro výsledný lineární řídicí systém.

Linearizace zpětné vazby systémů SISO

Zde zvažte případ zpětné vazby linearizace systému s jedním vstupem a jedním výstupem (SISO). Podobné výsledky lze rozšířit na systémy s více vstupy a více výstupy (MIMO). V tomto případě, ${ displaystyle u in mathbb {R}}$ a ${ displaystyle y in mathbb {R}}$ . Cílem je najít transformaci souřadnic ${ displaystyle z = T (x)}$ který transformuje systém (1) na tzv normální forma který odhalí zákon zpětné vazby formuláře

{ displaystyle u = a (x) + b (x) v ,}

který vykreslí lineární vstupně-výstupní mapu z nového vstupu ${ displaystyle v in mathbb {R}}$ na výstup ${ displaystyle y}$ . Aby bylo zajištěno, že transformovaný systém je ekvivalentní reprezentací původního systému, musí být transformace a difeomorfismus. To znamená, že transformace musí být nejen invertibilní (tj. Bijektivní), ale jak transformace, tak její inverze musí být hladký takže rozlišitelnost v původním souřadném systému je zachována v novém souřadném systému. V praxi může být transformace pouze lokálně difeomorfní a výsledky linearizace platí pouze v této menší oblasti.

K vyřešení tohoto problému je zapotřebí několik nástrojů.

Derivát lži

Cílem zpětnovazební linearizace je vytvořit transformovaný systém, jehož stavy jsou výstupem ${ displaystyle y}$ a jeho první ${ displaystyle (n-1)}$ deriváty. Abychom pochopili strukturu tohoto cílového systému, používáme Derivát lži. Zvažte časovou derivaci (2), kterou lze vypočítat pomocí řetězové pravidlo,

{ displaystyle { begin {aligned} { dot {y}} = { frac { mathrm {d} h (x)} { mathrm {d} t}} & = { frac { mathrm {d } h (x)} { mathrm {d} x}} { dot {x}} & = { frac { mathrm {d} h (x)} { mathrm {d} x}} f (x) + { frac { mathrm {d} h (x)} { mathrm {d} x}} g (x) u end {zarovnáno}}}

Nyní můžeme definovat Lieův derivát ${ displaystyle h (x)}$ podél ${ displaystyle f (x)}$ tak jako,

{ displaystyle L_ {f} h (x) = { frac { mathrm {d} h (x)} { mathrm {d} x}} f (x),}

a podobně Lieův derivát ${ displaystyle h (x)}$ podél ${ displaystyle g (x)}$ tak jako,

{ displaystyle L_ {g} h (x) = { frac { mathrm {d} h (x)} { mathrm {d} x}} g (x).}

S touto novou notací můžeme vyjádřit ${ displaystyle { dot {y}}}$ tak jako,

{ displaystyle { dot {y}} = L_ {f} h (x) + L_ {g} h (x) u}

Všimněte si, že zápis Lieových derivací je vhodný, když vezmeme více derivací s ohledem buď na stejné vektorové pole, nebo na jiné. Například,

{ displaystyle L_ {f} ^ {2} h (x) = L_ {f} L_ {f} h (x) = { frac { mathrm {d} (L_ {f} h (x))} { mathrm {d} x}} f (x),}

a

{ displaystyle L_ {g} L_ {f} h (x) = { frac { mathrm {d} (L_ {f} h (x))} { mathrm {d} x}} g (x). }

Relativní stupeň

V našem zpětnovazebním linearizovaném systému tvořeném stavovým vektorem výstupu ${ displaystyle y}$ a jeho první ${ displaystyle (n-1)}$ deriváty, musíme pochopit, jak vstup ${ displaystyle u}$ vstupuje do systému. K tomu zavedeme pojem relativního stupně. Náš systém daný (1) a (2) má relativní stupeň ${ displaystyle r in mathbb {W}}$ v určitém okamžiku ${ displaystyle x_ {0}}$ li,

{ displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {k} h (x) = 0 qquad pro všechny x}

v sousedství z

{ displaystyle x_ {0}}

a všechno

{ displaystyle k leq r-2}

{ displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {r-1} h (x_ {0}) neq 0}

Vzhledem k této definici relativního stupně ve světle vyjádření časové derivace výstupu ${ displaystyle y}$ , relativní stupeň našeho systému (1) a (2) můžeme považovat za to, kolikrát musíme rozlišit výstup ${ displaystyle y}$ před vstupem ${ displaystyle u}$ se objeví výslovně. V Systém LTI, relativní stupeň je rozdíl mezi stupněm polynomu jmenovatele přenosové funkce (tj. počet póly ) a stupeň jeho čitatelského polynomu (tj. počet nuly ).

Linearizace pomocí zpětné vazby

V následující diskusi budeme předpokládat, že relativní stupeň systému je ${ displaystyle n}$ . V tomto případě po rozlišení výstupu ${ displaystyle n}$ časy máme

{ displaystyle { begin {aligned} y & = h (x) { dot {y}} & = L_ {f} h (x) { ddot {y}} & = L_ {f} ^ {2} h (x) & vdots y ^ {(n-1)} & = L_ {f} ^ {n-1} h (x) y ^ {(n)} & = L_ {f} ^ {n} h (x) + L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x) u end {zarovnáno}}}

kde notace ${ displaystyle y ^ {(n)}}$ označuje ${ displaystyle n}$ th derivát ${ displaystyle y}$ . Protože jsme předpokládali, že relativní stupeň systému je ${ displaystyle n}$ , Lieovy deriváty formy ${ displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {i} h (x)}$ pro ${ displaystyle i = 1, tečky, n-2}$ jsou všechny nulové. To je vstup ${ displaystyle u}$ nemá žádný přímý příspěvek k žádnému z prvních ${ displaystyle (n-1)}$ th deriváty.

Transformace souřadnic ${ displaystyle T (x)}$ který uvádí systém do normální formy, pochází z první ${ displaystyle (n-1)}$ deriváty. Zejména,

{ displaystyle z = T (x) = { začátek {bmatrix} z_ {1} (x) z_ {2} (x) vdots z_ {n} (x) end {bmatrix} } = { begin {bmatrix} y { dot {y}} vdots y ^ {(n-1)} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} h (x) L_ {f} h (x) vdots L_ {f} ^ {n-1} h (x) end {bmatrix}}}

transformuje trajektorie z originálu ${ displaystyle x}$ souřadnicový systém do nového ${ displaystyle z}$ souřadnicový systém. Pokud je tato transformace a difeomorfismus, hladké trajektorie v původním souřadnicovém systému budou mít jedinečné protějšky v ${ displaystyle z}$ souřadnicový systém, který je také hladký. Ty ${ displaystyle z}$ trajektorie budou popsány novým systémem,

{ displaystyle { begin {cases} { dot {z}} _ {1} & = L_ {f} h (x) = z_ {2} (x) { dot {z}} _ {2 } & = L_ {f} ^ {2} h (x) = z_ {3} (x) & vdots { dot {z}} _ {n} & = L_ {f} ^ {n } h (x) + L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x) u end {cases}}.}

Proto zákon o zpětné vazbě

{ displaystyle u = { frac {1} {L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x)}} (- L_ {f} ^ {n} h (x) + v)}

vykreslí lineární vstupně-výstupní mapu z ${ displaystyle v}$ na ${ displaystyle z_ {1} = y}$ . Výsledný linearizovaný systém

{ displaystyle { begin {cases} { dot {z}} _ {1} & = z_ {2} { dot {z}} _ {2} & = z_ {3} & vdots { dot {z}} _ {n} & = v end {cases}}}

je kaskáda ${ displaystyle n}$ integrátory a ovládání vnější smyčky ${ displaystyle v}$ lze zvolit pomocí standardní metodiky lineárního systému. Zejména zákon o zpětné vazbě stavu ze dne

{ displaystyle v = -Kz qquad,}

kde stavový vektor ${ displaystyle z}$ je výstup ${ displaystyle y}$ a jeho první ${ displaystyle (n-1)}$ deriváty, vede k Systém LTI

{ displaystyle { dot {z}} = Az}

s,

{ displaystyle A = { begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & ldots & 0 0 & 0 & 1 & ldots & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & ldots & 1 - k_ {1} & -k_ {2} & - k_ {3} & ldots & -k_ {n} end {bmatrix}}.}

Takže s příslušnou volbou ${ displaystyle k}$ , můžeme libovolně umístit póly uzavřené smyčky linearizovaného systému.

Nestabilní nulová dynamika

Linearizaci zpětné vazby lze provést u systémů, které mají relativní stupeň menší než ${ displaystyle n}$ . Normální forma systému však bude zahrnovat nulová dynamika (tj. státy, které nejsou pozorovatelný z výstupu systému), které mohou být nestabilní. V praxi může mít nestabilní dynamika škodlivé účinky na systém (např. Může být nebezpečné, aby vnitřní stavy systému neomezeně rostly). Tyto nepozorovatelné stavy mohou být kontrolovatelné nebo přinejmenším stabilní, takže lze přijmout opatření k zajištění toho, aby tyto stavy v praxi nezpůsobovaly problémy. Minimální fáze systémy poskytují určitý pohled na nulovou dynamiku.

Viz také

Nelineární řízení

Další čtení

A. Isidori, Nelineární řídicí systémy, třetí vydání, Springer Verlag, Londýn, 1995.
H. K. Khalil, Nelineární systémy, třetí vydání, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 2002.
M. Vidyasagar, Nelineární analýza systémů druhé vydání, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.
B. Friedland, Pokročilý design řídicího systému Faxové vydání, Prentice Hall, řeka Upper Saddle, New Jersey, 1996.

externí odkazy

ECE 758: Modelování a nelineární ovládání jednopólového flexibilního manipulátoru kloubů - Poskytuje vysvětlení a aplikaci linearizace zpětné vazby.
ECE 758: Příklad linearizace koule v trubici - Triviální aplikace linearizace pro systém, který je již v normální formě (tj. Není nutná žádná transformace souřadnic).
Wolfram jazyk funkce zpětná vazba linearizace, vypočítat relativní objednávky a určit nulová dynamika.