Spravedlivé rozdělení jednoho homogenního zdroje - Fair division of a single homogeneous resource - Wikipedia

Spravedlivé rozdělení jednoho homogenního zdroje je jedno z nejjednodušších nastavení v spravedlivé rozdělení problémy. Existuje jeden zdroj, který by měl být rozdělen mezi několik lidí. Úkolem je, že každá osoba odvozuje z každého množství zdroje jinou užitečnost. Existuje tedy několik protichůdných zásad pro rozhodování o tom, jak by měl být zdroj rozdělen. Primárním konfliktem je efektivita a rovnost. Efektivitu představuje utilitaristický pravidlo, které maximalizuje součet utilit; rovnost je reprezentována rovnostářský pravidlo, které maximalizuje minimální užitečnost.^[1]^{:díl 2.5}

Nastavení

V určité společnosti existují:

${ displaystyle t}$ jednotky nějakého dělitelného zdroje.
${ displaystyle n}$ agenti s různými „obslužnými programy“.
Užitečnost agenta ${ displaystyle i}$ je reprezentován funkcí ${ displaystyle u_ {i}}$ ; když agent ${ displaystyle i}$ přijímá ${ displaystyle y_ {i}}$ jednotek zdroje, z toho odvozuje užitečnost ${ displaystyle u_ {i} (y_ {i})}$ .

Toto nastavení může mít různé interpretace. Například:^[1]^:44

Zdrojem je dřevo, agenti jsou stavitelé a užitné funkce představují jejich produktivní sílu - ${ displaystyle u_ {i} (y_ {i})}$ je počet budov, které zprostředkovávají ${ displaystyle i}$ lze stavět pomocí ${ displaystyle y_ {i}}$ jednotky dřeva.
Zdrojem je lék, agenti jsou pacienti a užitné funkce představují jejich šanci na uzdravení - ${ displaystyle u_ {i} (y_ {i})}$ je pravděpodobnost agenta ${ displaystyle i}$ zotavit se získáním ${ displaystyle y_ {i}}$ dávky léku.

V každém případě musí společnost rozhodnout, jak rozdělit zdroj mezi agenty: musí najít vektor ${ displaystyle y_ {1}, tečky, y_ {n}}$ takové, že: ${ displaystyle y_ {1} + cdots + y_ {n} = t}$

Pravidla přidělování

Bez závisti

The Závistivost pravidlo říká, že prostředek by měl být přidělen tak, aby žádný agent nezáviděl jinému agentovi. V případě jediného homogenního prostředku vždy vybere alokaci, která každému agentovi poskytne stejné množství prostředku, bez ohledu na jejich užitnou funkci:

{ displaystyle forall i: y_ {i} = t / n}

Utilitaristický

The utilitaristický pravidlo říká, že součet nástrojů by měl být maximalizován. Utilitární alokace je tedy:

{ displaystyle y = arg max _ {y} součet _ {i} u_ {i} (y_ {i})}

Rovnostářský

The rovnostářský pravidlo říká, že obslužné programy všech agentů by měly být stejné. Proto bychom chtěli vybrat alokaci, která splňuje:

{ displaystyle forall i, j: u_ {i} (y_ {i}) = u_ {j} (y_ {j})}

Taková alokace však nemusí existovat, protože rozsahy obslužných funkcí se nemusí překrývat (viz příklad níže). Abychom zajistili, že řešení existuje, povolujeme různé úrovně obslužnosti, ale vyžadujeme, aby agenti s úrovní obslužnosti nad minimální nedostávali žádné prostředky:

{ displaystyle y_ {i}> 0 znamená u_ {i} (y_ {i}) = min _ {j} u_ {j} (y_ {j})}

Rovnostářská alokace stejně maximalizuje minimální užitečnost:

{ displaystyle y = arg max _ {y} min _ {i} u_ {i} (y_ {i})}

Utilitární a rovnostářská pravidla mohou vést ke stejné alokaci nebo k různým alokacím v závislosti na funkcích užitku. Některé příklady jsou ilustrovány níže.

Příklady

Společná užitečnost a nerovné dotace

Předpokládejme, že všichni agenti mají stejnou obslužnou funkci, ${ displaystyle u}$ , ale každý agent ${ displaystyle i}$ má jinou počáteční dotaci, ${ displaystyle x_ {i}}$ . Takže užitečnost každého agenta ${ displaystyle i}$ darováno:

{ displaystyle u_ {i} (y_ {i}) = u (x_ {i} + y_ {i})}

Li ${ displaystyle u}$ je konkávní funkce, zastupující klesající výnosy pak jsou utilitární a rovnostářské alokace stejné - snaží se vyrovnat dotace agentů. Například pokud existují 3 agenti s počátečním vybavením ${ displaystyle x = 2,4,9}$ a celková částka je ${ displaystyle t = 8}$ , pak obě pravidla doporučují přidělení ${ displaystyle y = 5,3,0}$ , protože oba tlačí na stejné nástroje (v maximální možné míře) a maximalizuje součet nástrojů.

Naproti tomu, pokud ${ displaystyle u}$ je konvexní funkce, zastupující zvyšující se výnosy, pak rovnostářské alokace stále tlačí k rovnosti, ale utilitární alokace nyní dává veškerou dotaci nejbohatšímu agentovi: ${ displaystyle y = 0,0,9}$ .^[1]^:45 To má smysl například tehdy, když je zdrojem vzácný lék: může být společensky nejlepší podat pacientovi všechny léky s nejvyšší pravděpodobností vyléčení.

Konstantní poměry užitečnosti

Předpokládejme, že existuje společná obslužná funkce ${ displaystyle u}$ , ale každý agent má jiný koeficient ${ displaystyle a_ {i}}$ představující produktivitu tohoto agenta. Takže užitečnost každého agenta ${ displaystyle i}$ darováno:

{ displaystyle u_ {i} (y_ {i}) = a_ {i} cdot u (y_ {i})}

Zde jsou diametrálně odlišné utilitární a rovnostářské přístupy.^[1]^:46–47

Rovnostářské přidělení dává více zdrojů méně produktivním agentům, aby je kompenzovali a umožnili jim dosáhnout vysoké úrovně užitečnosti:
${ displaystyle a_ {i}> a_ {j} naznačuje y_ {j}> y_ {i}}$
Utilitární alokace dává více zdrojů produktivnějším agentům, protože tyto zdroje lépe využijí:
${ displaystyle a_ {i}> a_ {j} znamená y_ {i}> y_ {j}}$

Vlastnosti pravidel přidělování

Monotónnost zdrojů: pravidlo bez závisti a rovnostářské pravidlo je vždy monotónní z hlediska zdrojů. Utilitářské pravidlo je zdrojově monotónní, pokud jsou všechny funkce nástroje konkávní funkce, zastupující klesající výnosy; ale když jsou některé obslužné funkce konvexní funkce, zastupující zvyšující se výnosy, utilitární pravidlo nemusí být zdrojově monotónní.^[1]^:47

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C ^d ^E Herve Moulin (2004). Spravedlivé rozdělení a kolektivní sociální péče. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 9780262134231.

[moulin-1] A ^b ^C ^d ^E Herve Moulin (2004). Spravedlivé rozdělení a kolektivní sociální péče. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 9780262134231.

[1]