Expanzivní homeomorfismus - Expansive homeomorphism - Wikipedia

v matematika, pojem expanzivita formalizuje představu o bodech, které se od sebe vzdalují působením iterovaná funkce. Myšlenka expanzivity je spravedlivá tuhý, jako definice pozitivní expanzivity níže, stejně jako Schwarz – Ahlfors – Pickova věta prokázat.

Definice

Li ${ displaystyle (X, d)}$ je metrický prostor, a homeomorfismus ${ displaystyle f dvojtečka X až X}$ se říká, že je expanzivní pokud existuje konstanta

${ displaystyle varepsilon _ {0}> 0,}$

volal konstanta rozpínavosti, takže za každou dvojici bodů ${ displaystyle x neq y}$ v ${ displaystyle X}$ existuje celé číslo ${ displaystyle n}$ takhle

${ displaystyle d (f ^ {n} (x), f ^ {n} (y)) geq varepsilon _ {0}.}$

Všimněte si, že v této definici ${ displaystyle n}$ může být pozitivní nebo negativní atd ${ displaystyle f}$ mohou být expanzivní ve směru dopředu nebo dozadu.

Prostor ${ displaystyle X}$ se často považuje za kompaktní, protože za tohoto předpokladu je expanzivita topologická vlastnost; tj. pokud ${ displaystyle d '}$ je jakákoli jiná metrika generující stejnou topologii jako ${ displaystyle d}$, a pokud ${ displaystyle f}$ je rozsáhlý v ${ displaystyle (X, d)}$, pak ${ displaystyle f}$ je rozsáhlý v ${ displaystyle (X, d ')}$ (možná s jinou konstantou expanzivity).

Li

${ displaystyle f dvojtečka X až X}$

je souvislá mapa, říkáme to ${ displaystyle X}$ je pozitivně expanzivní (nebo dopředu expanzivní) pokud existuje

${ displaystyle varepsilon _ {0}}$

takové, že pro každého ${ displaystyle x neq y}$ v ${ displaystyle X}$, tady je ${ displaystyle n in mathbb {N}}$ takhle ${ displaystyle d (f ^ {n} (x), f ^ {n} (y)) geq varepsilon _ {0}}$.

Věta o jednotné expanzivitě

Dáno F expanzivní homeomorfismus kompaktního metrického prostoru, věta o jednotné expanzivnosti uvádí, že pro každého ${ displaystyle epsilon> 0}$ a ${ displaystyle delta> 0}$ tady je ${ displaystyle N> 0}$ takové, že pro každý pár ${ displaystyle x, y}$ bodů ${ displaystyle X}$ takhle ${ displaystyle d (x, y)> epsilon}$, tady je ${ displaystyle n in mathbb {Z}}$ s ${ displaystyle vert n vert leq N}$ takhle

${ displaystyle d (f ^ {n} (x), f ^ {n} (y))> c- delta,}$

kde ${ displaystyle c}$ je konstanta rozpínavosti ${ displaystyle f}$ (důkaz ).

Diskuse

Pozitivní expanzivita je mnohem silnější než expanzivita. Ve skutečnosti lze dokázat, že pokud ${ displaystyle X}$ je kompaktní a ${ displaystyle f}$ je tedy pozitivně expanzivní homeomorfismus ${ displaystyle X}$ je konečný (důkaz ).

externí odkazy

• Expanzivní dynamické systémy na vědecké škole

Tento článek včlení materiál z následujícího PlanetMath články, které jsou licencovány podle Creative Commons Attribution / Share-Alike License: expanzivní, jednotná expanzivita.