Vztah energie a hloubky v obdélníkovém kanálu - Energy–depth relationship in a rectangular channel

v tok otevřeného kanálu, specifická energie (E) je energetická délka neboli hlava relativně ke dnu kanálu. Specifická energie je vyjádřena jako Kinetická energie, a potenciální energie, a vnitřní energie. The Bernoulliho rovnice, který pochází z analýzy řídicího objemu, se používá k popisu konkrétních energetických vztahů v dynamika tekutin. Forma Bernoulliho rovnice zde diskutovaná předpokládá, že tok je nestlačitelný a stabilní. Tři energetické složky v Bernoulliho rovnici jsou elevace, tlak a rychlost. Vzhledem k tomu, že s otevřeným tokem kanálu je vodní povrch otevřený do atmosféra, tlakový člen mezi dvěma body má stejnou hodnotu, a je proto ignorován. Jsou-li tedy známy konkrétní energie a rychlost proudění v kanálu, lze určit hloubku proudění. Tento vztah lze použít k výpočtu hloubkových změn před nebo za změnami v kanálu, jako jsou kroky, zúžení nebo řídicí struktury. Je to také základní vztah používaný v EU standardní kroková metoda vypočítat, jak se hloubka toku mění v dosahu z energie získané nebo ztracené v důsledku sklonu kanálu.

Úvod

Při zanedbání tlakového termínu existuje energie ve dvou formách, potenciál a kinetický. Za předpokladu, že se všechny částice tekutiny pohybují stejnou rychlostí, platí obecný výraz pro kinetickou energii (KE = ½mv²). Tento obecný výraz lze zapsat jako kinetickou energii na jednotková hmotnost tekutiny,

${ displaystyle { frac { mathit {KE}} { textrm {weight}}} = { frac {{ frac {1} {2}} mv ^ {2}} { gamma V}} = { frac {{ frac {1} {2}} { bigl (} rho V { bigr)} v ^ {2}} { rho gV}}}$           (1)

Kde:	m = hmotnost
	proti = rychlost kapaliny (délka / čas)
	PROTI = objem (délka3)
	ρ = hustota kapaliny (hmotnost / objem)
	y = měrná hmotnost vody (hmotnost / objem jednotky)
	G = akcelerace kvůli gravitace (délka / čas2)

Kinetická energie ve stopách je reprezentována jako rychlostní hlava,

${ displaystyle { mathit {KE}} = { frac {v ^ {2}} {2g}}}$          (2)

Částice tekutiny mají také potenciální energii, která je spojena s elevací tekutiny nad libovolným vztažným bodem. Pro tekutinu hmotnosti (ρg) ve výšce y nad stanoveným vztažným bodem je potenciální energie wy. Potenciální energii na jednotku hmotnosti tekutiny lze tedy vyjádřit jednoduše jako výšku nad vztažným bodem,

${ displaystyle { frac { mathit {PE}} { rho g}} = y}$          (3)

Kombinace energetických výrazů pro kinetickou a potenciální energii spolu s vlivy způsobenými tlakem a ztrátou hlavy vede k následující rovnici:

${ displaystyle { frac {v_ {1} ^ {2}} {2g}} + y_ {1} + { frac {P_ {1}} { gamma}} - h_ {f} = { frac { v_ {2} ^ {2}} {2g}} + y_ {2} + { frac {P_ {2}} { gamma}}}$           (4)

Kde:	y = svislá vzdálenost od nulového bodu (délka)
	P = tlak (hmotnost / objem)
	hF = ztráta hlavy v důsledku tření (délka)

Jak se kapalina pohybuje po proudu, dochází ke ztrátě energie v důsledku tření. Tyto ztráty mohou být způsobeny drsností lože kanálu, zúžením kanálu a jinými strukturami toku. Ztráta energie v důsledku tření je v této analýze zanedbávána.

Rovnice 4 hodnotí tok na dvou místech: bod 1 (proti proudu) a bod 2 (po proudu). Jak již bylo zmíněno dříve, tlak v místech 1 a 2 je stejný atmosférický tlak v průtoku otevřeným kanálem, proto se tlakové podmínky zruší. Při určování specifické energie se také zanedbává pokles tlaku v důsledku tření; proto tento termín také zmizí. Po těchto zrušeních se rovnice stane,

${ displaystyle { frac {v_ {1} ^ {2}} {2g}} + y_ {1} = { frac {v_ {2} ^ {2}} {2g}} + y_ {2}}$           (5)

a celková měrná energie v kterémkoli bodě systému je,

${ displaystyle E = { frac {v ^ {2}} {2g}} + y}$           (6)

Objemový výboj

K vyhodnocení termínu kinetické energie je zapotřebí rychlost kapaliny. Objemový výboj, Q se obvykle používá při výpočtech toku v otevřeném kanálu. Pro obdélníkové kanály se také používá výboj jednotky a mnoho alternativních vzorců pro obdélníkové kanály používá tento termín místo proti nebo Q. V amerických obvyklých jednotkách Q je v ft³/ s a q je v ft²/ s

${ displaystyle q = { frac {Q} {b}}}$           (7)

Kde:	q = výboj jednotky (délka2/čas)
	Q = objemový výboj (délka3/čas)
	b = základní šířka obdélníkového kanálu (délka)

Rovnici 6 lze poté přepsat pro obdélníkové kanály jako,

${ displaystyle E = { frac {q ^ {2}} {2gy ^ {2}}} + y}$           (8)

E – y diagram

Pro daný výboj lze vypočítat specifickou energii pro různé hloubky toku a vynést ji do diagramu E – y. Typický diagram E – y je uveden níže.

Tři různé q hodnoty jsou vyneseny do diagramu specifické energie výše. Výboje jednotky se zvyšují zleva doprava, což znamená q₁ < q₂ < q₃. Existuje výrazný asymptotické vztah, když se horní část křivky blíží k E = y čára a spodní část křivky směřuje k X-osa. Zobrazeny jsou také kritická energie nebo minimální energie, E_C a odpovídající hodnota kritické hloubky, y_C. Zobrazené hodnoty jsou pro q₁ pouze výboj, ale pro jakékoli výboje existují jedinečné kritické hodnoty.

Kritické vztahy toku

The kritická hloubka hodnota uvedená v části E – y diagramu je matematicky reprezentována poměrem rychlosti tekutiny k rychlosti malé amplitudy gravitační vlna. Tento poměr se nazývá Froude číslo.

${ displaystyle { mathit {Fr}} = { frac {v} { sqrt {gy}}}}$           (9)

Kritická hloubka má číslo Froude rovné jedné a odpovídá minimální energii, kterou může tok mít pro daný výboj. Ne všechny toky jsou kritické, tak co čísla Froude, která se nerovnají jedné? Berou se v úvahu čísla Froude pod jednou podkritický a čísla Froude nad jedním jsou považována superkritický.

${ displaystyle { mathit {Fr}} = 1; ; { textit {kritický}}}$           (10)

${ displaystyle { mathit {Fr}} <1; ; { textit {Subcritical}}}$           (11)

${ displaystyle { mathit {Fr}}> 1; ; { textit {Superkritický}}}$           (12)

Fyzicky je podkritický tok hluboký a rychlosti jsou pomalé. To znamená, že podkritický tok má vysokou potenciální energii a nízkou kinetickou energii. Na druhé straně má superkritický tok tendenci být mělký a rychlosti jsou rychlé. Superkritický tok má nízkou potenciální energii a vysokou kinetickou energii.

Pokud se vrátíme k diagramu E – y, je vidět, že čára prochází kritickou hodnotou na každé následující výbojové křivce. Tento řádek odpovídá ${ displaystyle y = 2 / 3E}$.

Hodnoty hloubky na křivce E – y větší než kritická hloubka odpovídají podkritickým hloubkám toku. Podobně hodnoty menší než kritická hloubka odpovídají superkritickým hloubkám toku.

U obdélníkových kanálů lze kritickou hloubku vypočítat pomocí derivát energetické rovnice a její nastavení na nulu. Energie spojená s kritickou hloubkou se nachází umístěním výrazu kritické hloubky do specifické energetické rovnice. Vyjádření kritické energie je graficky znázorněno přímkou ${ displaystyle y_ {c} = 2 / 3E_ {c}}$, který spojuje kritické hodnoty hloubky.

${ displaystyle { frac {dE} {dy}} = { frac {d} {dy}} { biggl (} { frac {q ^ {2}} {2gy ^ {2}}} + y { biggr)} = 0}$           (13)

${ displaystyle y_ {c} = { biggl (} { frac {q ^ {2}} {g}} { biggr)} ^ { frac {1} {3}}}$           (14)

${ displaystyle E_ {c} = { frac {3} {2}} y_ {c}}$           (15)

Alternativní hloubky

Pro danou energetickou hodnotu a výboj obecně existují dvě možné odpovídající hloubky toku. Ve výše uvedeném diagramu jsou označeny alternativní hloubky y₁ a y₂ a odpovídají subkritickým a superkritickým oblastem toku. To platí pro všechny energetické hodnoty vyšší než kritická energie. Tento vztah neplatí pro kritickou energii, kde pouze kritická hloubka, y_C, je možné a pro energetické hodnoty menší než energie kritické hloubky, kde neexistují žádné pozitivní hloubky. Následující rovnici lze použít k řešení jedné alternativní hloubky druhé v pravoúhlých kanálech. Hodnoty pro y₁ a y₂ jsou zaměnitelné.

${ displaystyle y_ {2} = { frac {2y_ {1}} {- 1 + { sqrt {1 + { frac {8gy_ {1} ^ {3}} {q ^ {2}}}}} }} = { frac {2y_ {1}} {- 1 + { sqrt {1 + { frac {8} {{Fr_ {1}} ^ {2}}}}}}}$           (16)

Teorie a odvození vztahu alternativní hloubky

V toku otevřeného kanálu pravoúhlých kanálů se alternativní hloubková rovnice vztahuje proti proudu (y₁) a po proudu (y₂) hloubky toku v ustáleném stavu toku, který narazí na řídicí zařízení, jako je stavidlo, které šetří energii pro daný výboj.

Alternativní hloubkovou rovnici lze odvodit podobným způsobem jako konjugovanou hloubkovou rovnici. V toku otevřeného kanálu obdélníkových kanálů souvisí rovnice hloubky konjugátu s protiproudem (y₁) a po proudu (y₂) hloubky toku v ustáleném stavu pro tok, který narazí na čistý hydraulický skok, který zachovává hybnost pro daný výboj. The matematická derivace konjugované hloubkové rovnice může být užitečným nástrojem pro pochopení odvození alternativní hloubkové rovnice, viz výše uvedený odkaz, kde je podrobnější diskuse o její odvození.

Konjugujte rovnici hloubky

${ displaystyle y_ {2} = { frac {y_ {1}} {2}} vlevo ({ sqrt {1 + 8Fr_ {1} ^ {2}}} - 1 vpravo)}$           (17)

Dualitní vztah mezi hybností a specifickými energetickými funkcemi a odvození alternativního vztahu hloubky

Další důležitý koncept, který lze použít k odvození alternativní hloubkové rovnice, vychází z porovnání bezrozměrné funkce hybnosti s bezrozměrnou funkcí specifické energie. Je vidět, že bezrozměrná funkce hybnosti (M^') má stejný funkční vztah jako bezrozměrná funkce specifické energie (E^"), když jsou oba správně transformovány. (Henderson 1966). Z tohoto srovnání lze pozorovat, že jakýkoli výsledek, který platí pro bezrozměrnou rovnici hybnosti (M^') by také platilo pro bezrozměrnou rovnici specifické energie (E^"). Z tohoto konceptu duality můžeme určit analogii k rovnici hloubky konjugátu pro rovnici specifické energie, abychom poskytli analytický vztah mezi alternativními hloubkami y₁ a y₂. Níže jsou uvedeny matematické derivace za tímto konceptem:

Bezrozměrná funkce hybnosti

1) Počínaje funkcí hybnosti pro obdélníkový kanál:

${ displaystyle {M} = { frac {q ^ {2}} {gy}} + { frac {y ^ {2}} {2}}}$          (18)

2) Rozdělte (y_C² ) získat bezrozměrná forma:

${ displaystyle { frac {M} {y_ {c} ^ {2}}} = { frac {q ^ {2}} {gyy_ {c} ^ {2}}} + { frac {y ^ { 2}} {2r_ {c} ^ {2}}}}$          (19)

3) Nastavení ${ displaystyle M '= { frac {M} {y_ {c} ^ {2}}}}$ , ${ displaystyle y '= { frac {y} {y_ {c}}}}$a nahrazení ${ displaystyle q ^ {2} = gy_ {c} ^ {3}}$:

${ displaystyle M '= { frac {1} {y'}} + { frac {y '^ {2}} {2}}}$          (20)

Bezrozměrná funkce specifické energie

1) Počínaje funkcí specifické energie pro obdélníkový kanál:

${ displaystyle E = { frac {q ^ {2}} {2gy ^ {2}}} + y}$           (8)

2) Rozdělte y_C získat bezrozměrný tvar:

${ displaystyle { frac {E} {y_ {c}}} = { frac {y} {y_ {c}}} + { frac {q ^ {2}} {2gy ^ {2} y_ {c }}}}$          (21)

3) Kde ${ displaystyle E '= { frac {E} {y_ {c}}}}$ , ${ displaystyle y '= { frac {y} {y_ {c}}}}$a nahrazení ${ displaystyle q ^ {2} = gy_ {c} ^ {3}}$ :

${ displaystyle E '= y' + { frac {1} {2r '^ {2}}}}$          (22)

4) Nastavení ${ displaystyle y '' = { frac {1} {y '}} = { frac {y_ {c}} {y}}}$ a dosazením do rovnice (22) najdeme konečnou bezrozměrnou podobu funkce specifické energie:

${ displaystyle E '' = { frac {1} {y ''}} + { frac {y '' ^ {2}} {2}}}$          (23)

Porovnáním bezrozměrné hybnosti a funkcí specifické energie lze pozorovat, že naše konečná bezrozměrná rovnice specifické energie je identická s funkčním vztahem, který byl určen pro rovnici bezrozměrné hybnosti:

${ displaystyle M '= { frac {1} {y'}} + { frac {y '^ {2}} {2}}}$ a ${ displaystyle E '' = { frac {1} {y ''}} + { frac {y '' ^ {2}} {2}}}$          (20, 23)

Jakýkoli výsledek, který platí pro rovnici bezrozměrné hybnosti, by se tedy obdobně vztahoval na rovnici bezrozměrné specifické energie za předpokladu, že se použije transformace.

Odvození alternativní hloubkové rovnice

Za použití hloubka konjugátu rovnice a koncept duality mezi bezrozměrnými formami hybnosti (M^') a specifická energie (E^") funguje analytický vztah mezi alternativními hloubkami.

1) Začněte s konjugovaná hloubková rovnice (rovnice 17):

${ displaystyle y_ {2} = { frac {y_ {1}} {2}} vlevo ({ sqrt {1 + 8 { mathit {Fr}} _ {1} ^ {2}}} - 1 že jo)}$ , kde Fr.₁ je číslo Froude na místě 1

2) Vyvinout analogický k Fr.₁ pozorováním, že bezrozměrná rovnice hybnosti (rovnice 20) má hodnotu y^' rovná se jednotě v kritické hloubce. Pokud jsme si vybrali ${ displaystyle q = { sqrt {g}}}$ pak bude výsledný vztah M-y numericky identický s bezrozměrným M^'-y^' vztah od y_C je jednota. U tohoto výboje q se číslo Froude zjednodušuje na:

${ displaystyle { mathit {Fr}} _ { left (q = { sqrt {g}} right)} = { frac {v} { sqrt {gy}}} = { frac {q} { sqrt {gy ^ {3}}}} = { frac { sqrt {g}} { sqrt {gy ^ {3}}}} = { frac {1} { sqrt {y ^ {3 }}}}}$          (24)

3) I když rozměrově y₁ a y₁^" jsou různé, jejich číselné veličiny jsou stejné v jednotě, a proto můžeme vyjádřit analogii Fr.₁ v rovnici hloubky konjugátu jako:

${ displaystyle { tilde {{ mathit {Fr}} _ {1}}} = { frac {1} { sqrt {y '' ^ {3}}}}}$          (25)

kde tilda v ${ displaystyle { tilde {{ mathit {Fr}} _ {1}}}}$ Symbol označuje, že se v této analýze jedná jednoduše o rovnici specifické energie analogickou k Froudeovu číslu.

4) Střídání ${ displaystyle { tilde {{ mathit {Fr}} _ {1}}}}$ do bezrozměrné konjugované hloubkové rovnice a odvolání ${ displaystyle y '' = { frac {1} {y '}} = { frac {y_ {c}} {y}}}$ pro oba y₁ a y₂:

${ displaystyle y '' _ {2} = { frac {y '' _ {1}} {2}} vlevo (-1 + { sqrt {1 + { frac {8} {(y_ {1 } '') ^ {3}}}}} vpravo)}$          (26)

5) S ohledem na to ${ displaystyle y_ {2} = { frac {y_ {c}} {y_ {2} ''}}}$ a ${ displaystyle left (y_ {1} ' right) ^ {3} = left ({ frac {y_ {c}} {y_ {1}}} right) ^ {3} = { frac {q ^ {2}} {gy_ {1} ^ {3}}}}$ , lze rovnici (26) zjednodušit na konečný analytický alternativní vztah hloubky:

${ displaystyle y_ {2} = { frac {2y_ {1}} {- 1 + { sqrt {1 + { frac {8gy_ {1} ^ {3}} {q ^ {2}}}}} }}}$           (27)

6) Připomínáme, že pro obdélníkové kanály, ${ displaystyle y_ {c} = left ({ frac {q ^ {2}} {g}} right) ^ { frac {1} {3}}}$ a ${ displaystyle Fr = { frac {v} { sqrt {gy}}} = { frac {q} {y { sqrt {gy}}}}}$ a to si uvědomit ${ displaystyle { mathit {Fr}} ^ {2} = left ({ frac {y_ {c}} {y}} right) ^ {3} = { frac {q ^ {2}} { gy ^ {3}}}}$ , konečný analytický alternativní hloubkový vztah lze také vyjádřit jako:

${ displaystyle y_ {2} = { frac {2y_ {1}} {- 1 + { sqrt {1 + { frac {8gy_ {1} ^ {3}} {q ^ {2}}}}} }} = { frac {2y_ {1}} {- 1 + { sqrt {1 + { frac {8} {{{ mathit {Fr}} _ {1}} ^ {2}}}}} }}}$           (16)

Všimněte si, že kvůli symetrii původní rovnice hloubky konjugátu platí výsledná bezrozměrná alternativní hloubka rovnice bez ohledu na číslo Froude v místě 1. To znamená, y₁ může odpovídat buď superkritickým, nebo podkritickým podmínkám toku. Vztah alternativní hloubky přinese alternativní hloubku y₁ odpovídající opačnému režimu toku v obou případech.

Podle nejlepších znalostí autora se tento konečný výsledek pro alternativní hloubkový vztah neobjevuje v žádné učebnici a je původním příspěvkem Dr. Glenn E. Moglen společnosti Virginia Tech a na této webové stránce se objevuje za pomoci Paula Le Bel a kurzu CEE 5984 Open Channel Flow ve společnosti Virginia Tech.

Příklad

Koncept alternativních hloubek lze demonstrovat pomocí a stavidlo příklad. Stavidla se používají k řízení toku vody v otevřených kanálech a za ideálních podmínek, kdy je tření ignorováno, šetří energii pro daný výboj.

Voda teče v obdélníkovém kanálu, který obsahuje stavidlo. Hloubka toku proti proudu, y₁ je 5,0 stopy, otvor stavidla je 1,0 stopy a výtlak jednotky je, ${ displaystyle q = 10. { frac {{ textrm {ft}} ^ {2}} { textrm {s}}}}$. Jaká je hloubka toku za stavidlem? y₂?

Jelikož je energie zachována u stavidla, jsou energie proti proudu a po proudu stejné, nebo ${ displaystyle E_ {1} = E_ {2}}$. K řešení tohoto problému se používá rovnice specifické energie (rovnice 8), rovnice alternativní hloubky (rovnice 16) a diagram E – y.

${ displaystyle y_ {2} = { frac {2y_ {1}} {- 1 + { sqrt {1 + { frac {8gy_ {1} ^ {3}} {q ^ {2}}}}} }} = { frac {2 (5,0 , mathrm {ft})} {- 1 + { sqrt {1 + { frac {8 (32,2 { frac { mathrm {ft}} { mathrm { s} ^ {2}}}) (5,0 , mathrm {ft}) ^ {3}} { vlevo (10 { frac { mathrm {ft} ^ {2}} { mathrm {s}} } right) ^ {2}}}}}}} = 0,59 , mathrm {ft}}$

Porovnejte konkrétní energie na horním toku (y₁) a po proudu (y₂) hloubky k prokázání úspory energie (${ displaystyle E_ {1} = E_ {2}}$) u stavidla:

${ displaystyle E_ {1} = y_ {1} + { frac {q ^ {2}} {2gy_ {1} ^ {2}}} = 5,0 , mathrm {ft} + { frac { vlevo (10 { frac { mathrm {ft} ^ {2}} { mathrm {s}}} vpravo) ^ {2}} {2 vlevo (32,2 { frac { mathrm {ft}} { mathrm {s} ^ {2}}} vpravo) (5,0 , mathrm {ft}) ^ {2}}} = 5,06 , mathrm {ft}}$

${ displaystyle E_ {2} = y_ {2} + { frac {q ^ {2}} {2gy_ {2} ^ {2}}} = 0,59 , mathrm {ft} + { frac { vlevo (10 { frac { mathrm {ft} ^ {2}} { mathrm {s}}} vpravo) ^ {2}} {2 vlevo (32,2 { frac { mathrm {ft}} { mathrm {s} ^ {2}}} vpravo) (0,59 , mathrm {ft}) ^ {2}}} = 5,06 , mathrm {ft}}$

Proto, ${ displaystyle E_ {1} = E_ {2} = 5,06 , mathrm {ft}}$ a energie je zachována.

Reference

1. M. H. Chaudhry, tok otevřeného kanálu. New York: Springer, 2008.
2. E. J. Finnemore a J. B. Franzini, Fluid Mechanics with Engineering Applications. New York: McGraw-Hill, 2002.
3. Moglen, G.E. (2010) Přednášky z CEE 4324/5984: Open Channel Flow, Virginia Tech <https://web.archive.org/web/20121105134341/http://filebox.vt.edu/users/moglen/ocf/index.html >, 2. září 2010.
4. Henderson, F.M., 1966. Tok otevřeného kanálu, Prentice-Hall.
5. Moglen, Glenn E. Souhrnná tabulka základních vztahů toku otevřeného kanálu. Virginia Tech CEE 4324/5984 Open Channel Flow. PDF.