Standardní kroková metoda - Standard step method

The standardní kroková metoda (STM) je výpočetní technika používaná k odhadu jednorozměrných profilů povrchové vody v otevřených kanálech s postupně se měnícím průtokem za podmínek ustáleného stavu. Využívá kombinaci rovnic energie, hybnosti a kontinuity k určení hloubky vody s daným třecím sklonem ${ displaystyle (S_ {f})}$, sklon kanálu ${ displaystyle (S_ {0})}$, geometrii kanálu a také daný průtok. V praxi je tato technika široce používána prostřednictvím počítačového programu HEC-RAS, vyvinutý americkým armádním sborem inženýrů Hydrologic Engineering Center (HEC).^[1]

Základy toku otevřeného kanálu

Obrázek 1. Koncepční obrázek používaný k definování pojmů v energetické rovnici.^[2]

Obrázek 2. Diagram ukazující vztah pro hloubku toku (y) a celkovou energii (E) pro daný průtok (Q). Všimněte si umístění kritického toku, podkritického toku a superkritického toku.

Energetická rovnice použitá pro tok otevřeného kanálu výpočty je zjednodušení Bernoulliho rovnice (viz Bernoulliho princip ), který bere v úvahu tlakovou hlavu, elevační hlavu a rychlostní hlavu. (Poznámka, energie a hlava jsou ve Fluid Dynamics synonymem. Viz Tlaková hlava V otevřených kanálech se předpokládá, že změny atmosférického tlaku jsou zanedbatelné, proto je pojem „tlaková hlava“ použitý v Bernoulliho rovnici vyloučen. Výsledná energetická rovnice je uvedena níže:

${ displaystyle H = z + y + { frac {v ^ {2}} {2g}}}$            Rovnice 1

Pro daný průtok a geometrii kanálu existuje vztah mezi hloubkou toku a celkovou energií. To je znázorněno níže na grafu energie vs. hloubky toku, obecně známého jako diagram E-y. V tomto grafu je hloubka, kde dochází k minimální energii, známá jako kritická hloubka. V důsledku toho tato hloubka odpovídá a Froude číslo ${ displaystyle (F_ {n})}$ z 1. Hloubky větší než kritická hloubka jsou považovány za „podkritické“ a mají Froudeovo číslo menší než 1, zatímco hloubky menší než kritická hloubka jsou považovány za superkritické a mají Froudeho čísla větší než 1. (Další informace viz Bezrozměrné specifické energetické diagramy pro tok otevřeného kanálu.)

${ displaystyle F_ {n} = { frac {v} {(g { frac {A} {B}}) ^ {0,5}}}}$           Rovnice 2

Za podmínek ustáleného průtoku (např. Bez povodňové vlny) lze průtok otevřeným kanálem rozdělit na tři typy průtoku: rovnoměrný průtok, postupně se měnící průtok a rychle se měnící průtok. Jednotný tok popisuje situaci, kdy se hloubka toku nemění se vzdáleností podél kanálu. K tomu může dojít pouze u hladkého kanálu, který nezaznamená žádné změny toku, geometrie kanálu, drsnosti nebo sklonu kanálu. Během rovnoměrného toku je hloubka toku známá jako normální hloubka (yn). Tato hloubka je analogická konečné rychlosti objektu při volném pádu, kde jsou gravitace a třecí síly v rovnováze (Moglen, 2013).^[3] Tato hloubka se obvykle vypočítá pomocí Manningův vzorec. Postupně se měnící průtok nastává, když je změna hloubky průtoku na změnu vzdálenosti průtoku velmi malá. V tomto případě stále platí hydrostatické vztahy vyvinuté pro rovnoměrné proudění. Jako příklady lze uvést stojaté vody za konstrukcí in-stream (např. Přehrada, stavidlo, jez atd.), Když je v kanálu zúžení a když dojde k malé změně sklonu kanálu. Rychle se měnící průtok nastává, když je změna hloubky průtoku na změnu vzdálenosti průtoku významná. V tomto případě hydrostatické vztahy nejsou vhodné pro analytická řešení a musí být použita kontinuita hybnosti. Mezi příklady patří velké změny ve svahu, jako je přeliv, náhlé zúžení / rozšíření průtoku nebo hydraulický skok.

Profily vodní hladiny (postupně se měnící průtok)

Typicky se STM používá k vývoji „profilů povrchové vody“ nebo podélných reprezentací hloubky kanálu pro kanály, u nichž dochází k postupně se měnícímu toku. Tyto přechody lze klasifikovat na základě podmínek dosahu (mírné nebo strmé) a také podle typu prováděného přechodu. Mírné zásahy se vyskytují tam, kde je normální hloubka podkritická (yn> yc), zatímco strmé zásahy se vyskytují tam, kde je normální hloubka superkritická (yn

Obrázek 3. Tento obrázek ilustruje různé třídy profilů povrchové vody, které se vyskytují ve strmém a mírném toku během postupně se měnících podmínek proudění.^[4] Poznámka: Sloupec Strmý dosah by měl být označen „Strmý dosah (yn

Výše uvedené profily povrchové vody jsou založeny na řídící rovnici pro postupně se měnící průtok (viz níže)

${ displaystyle { frac {dy} {dx}} = { frac {S_ {0} -S_ {f}} {1-F_ {n} ^ {2}}}}$           Rovnice 3

Tato rovnice (a související profily povrchové vody) je založena na následujících předpokladech:

• Sklon je relativně malý
• Průřez kanálu je známý na stanicích zájmu
• Existuje rozdělení hydrostatického tlaku

Výpočet standardní krokové metody

STM numericky řeší rovnici 3 iteračním procesem. To lze provést pomocí půlení nebo Newton-Raphsonovy metody a je to v podstatě řešení celkové výšky v zadaném místě pomocí rovnic 4 a 5 změnou hloubky v uvedeném místě.^[5]

${ displaystyle H_ {2} = H_ {1} -h_ {f}}$           Rovnice 4

${ displaystyle H_ {2} = h_ {vel} + h_ {ele}}$           Rovnice 5

Abyste mohli použít tuto techniku, je důležité si uvědomit, že musíte mít určité znalosti o systému, který modelujete. Pro každý postupně se měnící přechod toku musíte znát obě okrajové podmínky a musíte také vypočítat délku tohoto přechodu. (Např. pro profil M1 musíte najít vzestup v okrajové podmínce po proudu, normální hloubku v okrajové podmínce proti proudu a také délku přechodu.) Chcete-li zjistit délku postupně se měnících přechodů toku, opakujte „ step step “, místo výšky, na hranici okrajové podmínky, dokud se rovnice 4 a 5 neshodnou. (např. pro profil M1 by poloha 1 byla podmínkou po proudu a vyřešili byste pro pozici dvě, kde se výška rovná normální hloubce.)

Newton – Raphsonova numerická metoda

Počítačové programy jako Excel obsahují iteraci nebo funkce pro hledání cílů, které mohou místo manuální iterace automaticky vypočítat skutečnou hloubku.

Koncepční profily povrchové vody (stavidlo)

Obrázek 4. Ilustrace profilů povrchové vody spojené se stavidlem v mírném dosahu (nahoře) a strmém dosahu (dole).

Obrázek 4 ilustruje různé profily povrchové vody spojené se stavidlem na mírném dosahu (nahoře) a strmém dosahu (dole). Všimněte si, že stavidlo indukuje sytič v systému, což způsobuje profil „vzdutí“ těsně před bránou. V mírném dosahu je hydraulický skok nastane pod bránou, ale ve strmém dosahu dojde k hydraulickému skoku před bránou. Je důležité si uvědomit, že postupně se měnící rovnice toku a související numerické metody (včetně standardní metody kroku) nemohou přesně modelovat dynamiku hydraulického skoku.^[6] Viz Hydraulické skoky v obdélníkových kanálech stránka pro více informací. Níže bude ukázkový problém používat koncepční modely k vytvoření profilu povrchové vody pomocí STM.

Příklad problému

Řešení

Pomocí obrázku 3 a znalostí podmínek proti proudu a po proudu a hodnot hloubky na obou stranách brány lze vygenerovat obecný odhad profilů před a za bránou. Proti proudu musí vodní plocha stoupat z normální hloubky 0,97 m na 9,21 m u brány. Jediným způsobem, jak toho dosáhnout v mírném dosahu, je sledovat profil M1. Stejná logika platí po proudu k určení, že vodní plocha sleduje profil M3 od brány, dokud hloubka nedosáhne konjugované hloubky normální hloubky, kdy se vytvoří hydraulický skok, který zvedne vodní hladinu do normální hloubky.

Krok 4: K řešení profilů povrchové vody M1 a M3 použijte metodu Newtona Raphsona. Horní a dolní část musí být modelována samostatně s počáteční hloubkou 9,21 m pro horní část a 0,15 m pro spodní část. Hloubka po proudu by měla být modelována pouze do dosažení hloubky konjugátu normální hloubky, kdy se vytvoří hydraulický skok. Prezentované řešení vysvětluje, jak vyřešit problém v tabulce, zobrazuje výpočty po sloupcích. V aplikaci Excel lze funkci hledání cíle použít k nastavení sloupce 15 na 0 změnou odhadu hloubky ve sloupci 2 namísto manuální iterace.

Tabulka 1: Tabulka Newton Raphsonovy metody výpočtů nadmořské výšky vodní hladiny

Krok 5: Zkombinujte výsledky z různých profilů a zobrazte je.

Normální hloubky bylo dosaženo přibližně 2 200 metrů před bránou.

Krok 6: Vyřešte problém v modelovacím prostředí HEC-RAS:

Vysvětlení složitosti fungování HEC-RAS je nad rámec této stránky Wikipedie. Pro ty, kteří se chtějí dozvědět více, je uživatelská příručka HEC-RAS vynikajícím vzdělávacím nástrojem a program je pro veřejnost zdarma.

První dva obrázky níže jsou profily povrchové vody proti proudu a po proudu modelované HEC-RAS. K dispozici je také tabulka porovnávající rozdíly mezi profily odhadovanými dvěma různými metodami na různých stanicích, aby se ukázala konzistence mezi těmito dvěma metodami. Zatímco dvě různé metody modelovaly podobné tvary vodní hladiny, standardní kroková metoda předpovídala, že tok bude trvat větší vzdálenost, než se dosáhne normální hloubky před a za bránou. Toto roztahování je způsobeno chybami spojenými s předpokládáním průměrných gradientů mezi dvěma sledovanými stanicemi během našich výpočtů. Menší hodnoty dx by tuto chybu snížily a vytvořily přesnější profily povrchu.

Model HEC-RAS vypočítal, že voda ustupuje do výšky 9,21 metru na horní straně stavidla, což je stejné jako u ručně vypočítané hodnoty. Normální hloubky bylo dosaženo přibližně 1700 metrů před bránou.

HEC-RAS modeloval hydraulický skok, který nastal 18 metrů po proudu od stavidla.

Reference