Jíst nerovnost - Eatons inequality - Wikipedia

v teorie pravděpodobnosti, Eatonova nerovnost je vázaný na největší hodnoty lineární kombinace omezeného náhodné proměnné. Tuto nerovnost popsal v roce 1974 Morris L. Eaton.^[1]

Prohlášení o nerovnosti

Nechť {X_i} být množina skutečných nezávislých náhodných proměnných, každá s očekávaná hodnota nula a výše ohraničená 1 (|X_i | ≤ 1, pro 1 ≤ i ≤ n). Variace nemusí být distribuovány shodně nebo symetricky. Nechť {A_i} být soubor n pevná reálná čísla s

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} = 1.}$

Eaton to ukázal

${ displaystyle P left ( left | sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} X_ {i} right | geq k right) leq 2 inf _ {0 leq c leq k} int _ {c} ^ { infty} left ({ frac {zc} {kc}} right) ^ {3} phi (z) , dz = 2B_ {E} (k ),}$

kde φ(X) je funkce hustoty pravděpodobnosti z standardní normální rozdělení.

Příbuzná vazba je Edelman^{[Citace je zapotřebí ]}

${ Displaystyle P left ( left | sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} X_ {i} right | geq k right) leq 2 left (1- Phi left [k - { frac {1.5} {k}} right] right) = 2B_ {Ed} (k),}$

kde Φ (X) je kumulativní distribuční funkce standardního normálního rozdělení.

Pinelis ukázal, že Eatonovy vazby lze zostřit:^[2]

${ displaystyle B_ {EP} = min {1, k ^ {- 2}, 2B_ {E} }}$

Byla stanovena sada kritických hodnot pro vazbu společnosti Eaton.^[3]

Související nerovnosti

Nechť {A_i} být soubor nezávislých Rademacherovy náhodné proměnné – P( A_i = 1 ) = P( A_i = -1) = 1/2. Nechat Z být normálně distribuovaný variát s a znamenat 0 a rozptyl ze dne 1. Nechť {b_i} být sada n opravená reálná čísla taková

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} ^ {2} = 1.}$

Tuto poslední podmínku vyžaduje Riesz – Fischerova věta který to uvádí

${ displaystyle a_ {i} b_ {i} + cdots + a_ {n} b_ {n}}$

se sblíží právě tehdy

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} ^ {2}}$

je konečný.

Pak

${ displaystyle Ef (a_ {i} b_ {i} + cdots + a_ {n} b_ {n}) leq Ef (Z)}$

pro F(x) = | x |^p. Důvod pro p ≥ 3 prokázal Whittle^[4] a p ≥ 2 prokázal Haagerup.^[5]

Li F(x) = E^λx s λ ≥ 0 pak

${ displaystyle Ef (a_ {i} b_ {i} + cdots + a_ {n} b_ {n}) leq inf left [{ frac {E (e ^ { lambda Z})}} e ^ { lambda x}}} right] = e ^ {- x ^ {2} / 2}}$

kde inf je infimum.^[6]

Nechat

${ displaystyle S_ {n} = a_ {i} b_ {i} + cdots + a_ {n} b_ {n}}$

Pak^[7]

${ displaystyle P (S_ {n} geq x) leq { frac {2e ^ {3}} {9}} P (Z geq x)}$

Konstanta v poslední nerovnosti je přibližně 4,4634.

Je známa také alternativní vazba:^[8]

${ displaystyle P (S_ {n} geq x) leq e ^ {- x ^ {2} / 2}}$

Tato poslední vazba souvisí s Hoeffdingova nerovnost.

V jednotném případě, kdy všechny b_i = n^−1/2 maximální hodnota S_n je n^1/2. V tomto případě to van Zuijlen ukázal^[9]

${ displaystyle P (| mu - sigma |) leq 0,5 ,}$^{[je zapotřebí objasnění ]}

kde μ je znamenat a σ je standardní odchylka částky.

Reference