Potenciál dvojité studny - Double-well potential

Takzvaný potenciál dvojité studny je jedním z mnoha kvartální potenciály značného zájmu o kvantová mechanika, v kvantová teorie pole a jinde pro zkoumání různých fyzikálních jevů nebo matematických vlastností, protože v mnoha případech umožňuje explicitní výpočet bez přílišného zjednodušení.

„Symetrický potenciál dvojité studny“ tedy sloužil mnoho let jako model pro ilustraci konceptu okamžiky jako pseudoklasická konfigurace v euklidovském teorie pole.^[1] V jednodušším kvantově mechanickém kontextu tento potenciál sloužil jako model pro hodnocení Feynmana integrály cesty.^[2][3] nebo řešení Schrödingerova rovnice různými metodami za účelem výslovného získání vlastních čísel energie.

„Invertovaný symetrický potenciál dvou jamek“ naproti tomu sloužil jako netriviální potenciál ve Schrödingerově rovnici pro výpočet rychlostí útlumu^[4] a průzkum chování velkých objednávek z asymptotické expanze.^[5][6][7]

Třetí forma kvartického potenciálu je „narušený jednoduchý harmonický oscilátor“ nebo „čistý anharmonický oscilátor“, který má čistě diskrétní energetické spektrum.

Čtvrtý typ možného kvartického potenciálu je typ „asymetrického tvaru“ jednoho z prvních dvou jmenovaných výše.

Dvojjamkové a jiné kvartické potenciály lze léčit různými metodami - hlavními metodami jsou (a) perturbační metoda (metoda B. Dingleho a H.J.W. Müller-Kirsten^[8]), který vyžaduje uložení okrajových podmínek, Metoda WKB a (c) metoda integrace cesty. Všechny případy jsou podrobně zpracovány v knize H.J.W. Müller-Kirsten.^[9] Chování velkého řádu asymptotických expanzí Mathieuových funkcí a jejich vlastních čísel (také nazývaných charakteristická čísla) bylo odvozeno v dalším článku R.B.Dingleho a H.J.W. Müller.^[10]

Symetrická dvojitá jamka

Hlavní zájem o literaturu se (z důvodů souvisejících s teorií pole) zaměřil na symetrickou dvojitou jamku (potenciál) a tam na kvantově mechanický základní stav. Od té doby tunelování přes centrální hrb potenciálu je zapojen výpočet vlastních zdrojů energie Schrödingerova rovnice protože tento potenciál je netriviální. Případ základního stavu je zprostředkován pseudoklasickými konfiguracemi známými jako instanton a anti-instanton. Ve explicitní podobě se jedná o hyperbolické funkce. Jako pseudoklasické konfigurace se tyto přirozeně objevují semiklasické úvahy —Sčítání (široce oddělených) párů instanton-anti-instanton, které je známé jako aproximace zředěného plynu. Konečně získaná základní energie eigenenergie je výraz obsahující exponenciál euklidovského působení instantonu. Toto je výraz obsahující faktor ${ displaystyle 1 / hbar}$ a je proto popsán jako (klasicky) nepůsobivý účinek.

Stabilita konfigurace instantonu v teorii integrální dráhy teorie skalárního pole se symetrickou dvojjamkovou vlastní interakcí se zkoumá pomocí rovnice malých oscilací o instanci. Jeden zjistí, že tato rovnice je Pöschl-Tellerova rovnice (tj. Diferenciální rovnice druhého řádu, jako je Schrödingerova rovnice s Pöschl-Tellerův potenciál ) s nezápornými vlastními hodnotami. Nezápornost vlastních čísel svědčí o stabilitě okamžiku.^[11]

Jak je uvedeno výše, instanton je konfigurace pseudočástic definovaná na nekonečné linii euklidovského času, která komunikuje mezi dvěma jamkami potenciálu a je zodpovědná za základní stav systému. Konfigurace odpovídajícím způsobem zodpovědné za vyšší, tj. Vzrušené stavy, jsou periodické okamžiky definované na kruhu euklidovského času, které jsou ve explicitní formě vyjádřeny pomocí jakobiánských eliptických funkcí (zobecnění trigonometrických funkcí). Vyhodnocení integrálu dráhy v těchto případech zahrnuje odpovídající eliptické integrály. Rovnicí malých fluktuací kolem těchto periodických instancí je Laméova rovnice, jejíž řešení je Lamé funkce. V případě nestability (jako u invertovaného potenciálu dvojité jamky) má tato rovnice záporná vlastní čísla indikující tuto nestabilitu, tj. Rozpad.^[11]

Aplikace perturbační metody Dingleho a Müllera (aplikovaná původně na Mathieuovu rovnici, tj. Schrödingerovu rovnici s kosinovým potenciálem) vyžaduje využití parametrických symetrií Schrödingerovy rovnice pro kvartický potenciál. Jeden se rozšiřuje kolem jednoho ze dvou minim potenciálu. Tato metoda navíc vyžaduje shodu různých větví řešení v doménách překrývání. Uplatnění okrajových podmínek nakonec přinese (jako v případě periodického potenciálu) nepůsobivý účinek.

Pokud jde o parametry jako v Schrödingerově rovnici pro symetrický potenciál dvojité jamky v následující podobě

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y (z)} {dz ^ {2}}} + [EV (z)] y (z) = 0, ; ; ; V (z) = - { frac {1} {4}} z ^ {2} h ^ {4} + { frac {1} {2}} c ^ {2} z ^ {4}, ; ; c ^ { 2}> 0, h ^ {4}> 0,}$

vlastní čísla pro ${ displaystyle q_ {0} = 1,3,5, ...}$ jsou nalezeny být (viz kniha Müller-Kirsten, vzorec (18.175b), s. 425)

${ displaystyle E _ { pm} (q_ {0}, h ^ {2}) = - { frac {h ^ {8}} {2 ^ {5} c ^ {2}}} + { frac { 1} { sqrt {2}}} q_ {0} h ^ {2} - { frac {c ^ {2} (3q_ {0} ^ {2} +1)} {2h ^ {4}}} - { frac {{ sqrt {2}} c ^ {4} q_ {0}} {8h ^ {10}}} (17q_ {0} ^ {2} +19) + O ({ frac {1 } {h ^ {16}}})}$

${ displaystyle ; ; ; mp { frac {2 ^ {q_ {0} +1} h ^ {2} (h ^ {6} / 2c ^ {2}) ^ {q_ {0} / 2}} {{ sqrt { pi}} 2 ^ {q_ {0} / 4} [(q_ {0} -1) / 2]!}} E ^ {- h ^ {6} / 6 { sqrt {2}} c ^ {2}}.}$

Je zřejmé, že tato vlastní čísla jsou asymptoticky (${ displaystyle h ^ {2} rightarrow infty}$) degeneruje podle očekávání od harmonické části potenciálu. Všimněte si, že termíny poruchové části výsledku jsou střídavě sudé nebo liché ${ displaystyle q_ {0}}$ a ${ displaystyle h ^ {2}}$ (jako v odpovídajících výsledcích pro Funkce Mathieu, Lamé funkce, proložit sféroidní vlnové funkce, funkce zploštělých sférických vln a další).

V kontextech teorie pole se výše uvedený symetrický potenciál dvojité jamky často píše (${ displaystyle phi}$ být skalárním polem)

${ displaystyle V ( phi) = { frac {m ^ {4}} {2g ^ {2}}} vlevo (1 - { frac {g ^ {2} phi ^ {2}} {m ^ {2}}} vpravo) ^ {2},}$

a instanton je řešení ${ displaystyle phi _ {c} ( tau)}$ Newtonovy rovnice

${ displaystyle { frac {d ^ {2} phi} {d tau ^ {2}}} = V '( phi), ; ; ; { frac {1} {2}} left ({ frac {d phi} {d tau}} right) ^ {2} -V ( phi) = - E_ {cl} = 0}$

(${ displaystyle tau}$ být euklidovský čas), tj

${ displaystyle phi _ {c} ( tau) = { frac {m} {g}} tanh vlevo [m ( tau - tau _ {0}) vpravo].}$

Rovnice malých výkyvů ${ displaystyle eta}$ o ${ displaystyle phi _ {c}, phi = phi _ {c} + eta,}$je Pöschl-Tellerova rovnice (viz Pöschl-Tellerův potenciál )

${ displaystyle left [- { frac {d ^ {2}} {d tau ^ {2}}} + V '' ( phi _ {c}) right] eta _ {n} ( tau) = omega _ {n} ^ {2} eta _ {n} ( tau),}$

s

${ displaystyle V '' ( phi _ {c}) = 4m ^ {2} - { frac {6m ^ {2}} { cosh ^ {2} m ( tau - tau _ {0}) }}.}$

Protože všechny vlastní hodnoty ${ displaystyle omega _ {n} ^ {2}}$ jsou kladné nebo nulové, konfigurace instantonu je stabilní a nedochází k žádnému rozpadu.

V obecnějším případě ${ displaystyle E_ {cl} neq 0}$ klasickým řešením je periodický instanton

${ displaystyle phi _ {c} ( tau) = { frac {kb (k)} {g}} sn [b (k) ( tau - tau _ {0})], ; ; ; b (k) = m vlevo ({ frac {2} {1 + k ^ {2}}} vpravo) ^ {1/2},}$

kde ${ displaystyle k}$ je eliptický modul periodické soustavy Jacobská eliptická funkce ${ displaystyle sn}$. Malá fluktuační rovnice je v tomto obecném případě a Lamé rovnice. V limitu ${ displaystyle k = 1, E_ {cl} = 0}$ řešení ${ displaystyle phi _ {c}}$ stává se vakuovým okamžitým řešením,

${ displaystyle phi _ {c} = { frac {m} {g}} tanh [m ( tau - tau _ {0})].}$

Invertovaný potenciál dvou jamek

Pro získání vlastních hodnot Schrödingerovy rovnice pro tento potenciál lze opět použít poruchovou teorii spolu s párováním řešení v doménách překrývání a ukládání okrajových podmínek (odlišných od podmínek pro dvojitou jamku). V tomto případě se však člověk rozšiřuje kolem středního žlabu potenciálu. Výsledky se proto liší od výše uvedených.

Pokud jde o parametry jako v Schrödingerově rovnici pro invertovaný potenciál dvojité jamky v následující podobě

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y (z)} {dz ^ {2}}} + [EV (z)] y (z) = 0, ; ; ; V (z) = { frac {1} {4}} h ^ {4} z ^ {2} - { frac {1} {2}} c ^ {2} z ^ {4}, ; ; h ^ {4 }> 0, ; c ^ {2}> 0,}$

vlastní čísla pro ${ displaystyle q_ {0} = 1,3,5, ...}$ jsou nalezeny být (viz kniha Müller-Kirsten, vzorec (18.86), s. 503)

${ displaystyle E = { frac {1} {2}} q_ {0} h ^ {2} - { frac {3c ^ {2}} {4h ^ {4}}} (q_ {0} ^ { 2} +1) - { frac {q_ {0} c ^ {4}} {h ^ {10}}} (4q_ {0} ^ {2} +29) + O ({ frac {1} { h ^ {16}}}) + i { frac {2 ^ {q_ {0}} h ^ {2} (h ^ {6} / 2c ^ {2}) ^ {q_ {0} / 2}} {(2 pi) ^ {1/2} [(q_ {0} -1) / 2]!}} E ^ {- h ^ {6} / 6c ^ {2}}.}$

Pomyslná část tohoto výrazu souhlasí s výsledkem C.M. Bender a T. T. Wu (viz jejich vzorec (3.36) a nastavení ${ displaystyle hbar = 1}$a v jejich zápisu ${ displaystyle q_ {0} = 2K + 1, h ^ {6} / 2c ^ {2} = epsilon}$).^[12] Tento výsledek hraje důležitou roli v diskusi a zkoumání chování poruchové teorie velkého řádu.

Čistý anharmonický oscilátor

Pokud jde o parametry jako v Schrödingerově rovnici pro čistý anharmonický oscilátor v následující podobě

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y (z)} {dz ^ {2}}} + [EV (z)] y (z) = 0, ; ; ; V (z) = { frac {1} {4}} h ^ {4} z ^ {2} + { frac {1} {2}} c ^ {2} z ^ {4}, ; ; h ^ {4 }> 0, ; c ^ {2}> 0,}$

vlastní čísla pro ${ displaystyle q = q_ {0} = 1,3,5, ...}$ se zjistí, že jsou

${ displaystyle E = { frac {1} {2}} qh ^ {2} + { frac {3c ^ {2}} {4h ^ {4}}} (q ^ {2} +1) - { frac {c ^ {4}} {h ^ {10}}} q (4q ^ {2} +29) + O ({ frac {1} {h ^ {16}}}).}$

Snadno lze vypočítat více termínů. Sledujte, že koeficienty roztažnosti jsou střídavě sudé nebo liché ${ displaystyle q}$ a ${ displaystyle h ^ {2}}$, stejně jako ve všech ostatních případech. Toto je důležitý aspekt řešení diferenciální rovnice pro kvartické potenciály.

Obecné komentáře

Výše uvedené výsledky pro dvojitou jamku a obrácenou dvojitou jamku lze také získat metodou integrace dráhy (tam pomocí periodických instancí, srov. okamžiky ) a metoda WKB, i když s použitím eliptických integrálů a Stirlingova aproximace z funkce gama, což vše ztěžuje výpočet. Symetrická vlastnost poruchové části při změnách q → -q, ${ displaystyle h ^ {2}}$ → -${ displaystyle h ^ {2}}$ výsledků lze získat pouze derivací ze Schrödingerovy rovnice, což je tedy lepší a správný způsob získání výsledku. Tento závěr je podpořen zkoumáním dalších diferenciálních rovnic druhého řádu, jako je Mathieuova rovnice a Laméova rovnice, které vykazují podobné vlastnosti ve svých rovnicích vlastních čísel. Navíc v každém z těchto případů (dvojitá jamka, obrácená dvojitá jamka, kosinový potenciál) je rovnicí malých fluktuací kolem klasické konfigurace Laméova rovnice.

Reference