Dottie číslo - Dottie number

Číslo Dottie je jedinečný skutečný pevný bod z kosinus funkce

v matematika, Dottie číslo je konstantní to je jedinečný nemovitý kořen rovnice

${ displaystyle cos x = x.}$

kde argument ${ displaystyle cos}$ je v radiány. Desetinné rozšíření čísla Dottie je ${ displaystyle 0,739085 ...}$.^[1]

Dá se triviálně dokázat, že rovnice má pouze jedno řešení věta o střední hodnotě ve skutečné rovině. Je to singl skutečný pevný bod z kosinus funkce, a je a netriviální příklad univerzálního přitahování pevného bodu. Je to navíc a transcendentní číslo v důsledku Lindemann-Weierstrassova věta.^[2] Zobecněný případ ${ displaystyle cos z = z}$ pro komplexní proměnnou ${ displaystyle z}$ má nekonečně mnoho kořenů, ale na rozdíl od čísla Dottie nepřitahují pevné body.

Použití Taylorovy řady inverzní k ${ displaystyle f (x) = cos (x) -x}$ na ${ displaystyle { frac { pi} {2}}}$ (nebo ekvivalentně Lagrangeova věta o inverzi ), číslo Dottie lze vyjádřit jako nekonečná řada ${ displaystyle { frac { pi} {2}} + součet _ {n , mathrm {odd}} a_ {n} pi ^ {n}}$ kde každý ${ displaystyle a_ {n}}$ je racionální číslo definováno pro liché n jako

${ displaystyle { begin {aligned} a_ {n} & = { frac {1} {n! 2 ^ {n}}} lim _ {m to { frac { pi} {2}}} { frac { částečné ^ {n-1}} { částečné m ^ {n-1}}} { vlevo ({ frac { cos m} {m- pi / 2}} - 1 vpravo ) ^ {- n}} & = - { frac {1} {4}}, - { frac {1} {768}}, - { frac {1} {61440}}, - { frac {43} {165150720}}, ldots end {zarovnáno}}}$

^{[3][4][5][poznámka 1]}

Název konstanty pochází z Samuel Kaplan (2007) a odkazuje na francouzskou profesorku, která sledovala toto číslo po opakovaném stisknutí kosinového tlačítka na její kalkulačce.^[3]

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Miller, T. H. (únor 1890). "Na numerických hodnotách kořenů rovnice cosx = x". Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. 9: 80–83. doi:10.1017 / S0013091500030868.
• Salov, Valerii (2012). „Nevyhnutelné Dottie číslo. Iterály kosinu a sinu“. arXiv:1212.1027.
• Azarian, Mohammad K. (2008). „NA PEVNÉ BODY FUNKCE A PEVNÉ BODY JEJICH KOMPOZITNÍCH FUNKCÍ“ (PDF). International Journal of Pure and Applied Mathematics.

Tento číslo článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.