Zkreslení (matematika) - Distortion (mathematics) - Wikipedia

v matematika, zkreslení je míra částky, o kterou a funkce z Euklidovské letadlo narušuje kruhy na elipsy. Pokud je zkreslení funkce rovno jedné, pak je konformní; pokud je zkreslení omezené a funkce je a homeomorfismus, pak je kvazikonformní. Zkreslení funkce ƒ roviny je dáno vztahem

${ displaystyle H (z, f) = limsup _ {r až 0} { frac { max _ {| h | = r} | f (z + h) -f (z) |} { min _ {| h | = r} | f (z + h) -f (z) |}}}$

což je omezující excentricita elipsy vytvořená aplikací ƒ na malé kruhy se středem naz. S touto geometrickou definicí je často velmi obtížné pracovat a nezbytné analytické funkce lze extrapolovat na následující definici. Mapování ƒ : Ω →R² z otevřené domény v rovině do roviny má v bodě konečné zkreslení X ∈ Ω pokud ƒ je v Sobolevův prostor Ž^1,1
_loc(Ω,R²), Jacobian determinant J (X, ƒ) je lokálně integrovatelný a nemění znaménko v Ω a existuje měřitelná funkce K.(X) ≥ 1 takový, že

${ displaystyle | Df (x) | ^ {2} leq K (x) | J (x, f) |}$

téměř všude. Tady Df je slabý derivát ƒ a |Df| je Norma Hilbert – Schmidt.

Pro funkce na vyšší dimenzi Euklidovský prostor Rⁿ, existuje více měr zkreslení, protože jsou více než dvě hlavní osy symetrického tenzoru. Bodové informace jsou obsaženy v tenzor zkreslení

${ displaystyle G (x, f) = { begin {cases} | J (x, f) ^ {- 2 / n} D ^ {T} f (x) Df (x) & { text {if} } J (x, f) not = 0 I & { text {if}} J (x, f) = 0. End {cases}}}$

Vnější zkreslení K._Ó a vnitřní zkreslení K._Já jsou definovány prostřednictvím Rayleighovy kvocienty

${ displaystyle K_ {O} (x) = sup _ { xi not = 0} { frac { langle G (x) xi, xi rangle ^ {n / 2}} {| xi | ^ {n}}}, quad K_ {O} (x) = sup _ { xi not = 0} { frac { langle G ^ {- 1} (x) xi, xi rangle ^ {n / 2}} {| xi | ^ {n}}}.}$

Vnější zkreslení lze také charakterizovat pomocí nerovnosti podobné té, která je dána v dvourozměrném případě. Pokud je Ω otevřený, zadejte Rⁿ, pak funkce ƒ ∈ Ž^1,1
_loc(Ω,Rⁿ) má konečné zkreslení, pokud je jeho Jacobian lokálně integrovatelný a nemění znaménko, a existuje měřitelná funkce K._Ó (vnější zkreslení) takové, že

${ displaystyle | Df (x) | ^ {n} leq K_ {O} (x) | J (x, f) |}$

téměř všude.

Viz také

• Deformace (mechanika)

Reference

• Iwaniec, Tadeusz; Martin, Gaven (2001), Teorie geometrických funkcí a nelineární analýzaOxfordské matematické monografie, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-850929-5, PAN  1859913.
• Reshetnyak, Yu. G. (1989), Mapování prostoru s omezeným zkreslenímPřeklady matematických monografií, 73„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-4526-4, PAN  0994644.