Diskrétní Fourierova řada - Discrete Fourier series - Wikipedia

v zpracování digitálních signálů, termín Diskrétní Fourierova řada (DFS) popisuje konkrétní formu inverze diskrétní Fourierova transformace (inverzní DFT).^[1]^{:str. 542}

Pro funkci ${ displaystyle x (t)}$ s Fourierovou transformací ${ displaystyle X (f),}$ the diskrétní Fourierova transformace (DTFT) diskrétní sekvence ${ displaystyle {x (n), n v mathbb {Z} },}$ je dána Fourierovou řadou:

{ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} e ^ {- i2 pi fn} x (n) = sum _ {m = - infty} ^ { infty} X ( fm),}

kde je pravá strana rovnosti výsledkem Poissonův součtový vzorec. Tyto vzorce jsou periodické ${ displaystyle (f)}$ s obdobím ${ displaystyle 1}$ (převrácená hodnota intervalu vzorkování). Běžnou praxí je výpočet libovolného čísla ${ displaystyle (N)}$ vzorků ve frekvenčních intervalech ${ displaystyle 1 / N,}$ čímž překlenuje jeden cyklus periodického DTFT:

{ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} e ^ {- i2 pi { tfrac {k} {N}} n} x (n) = podprsenka { sum _ { m = - infty} ^ { infty} X vlevo ({ tfrac {k} {N}} - m vpravo)} _ {{ tilde {X}} [k]}, quad k = 0 , ..., N-1}

kde diskrétní frekvence a periodicky (N-periodická) verze ${ displaystyle X}$ je označen ${ displaystyle { tilde {X}}.}$ Vzhledem k N-periodicitě ${ displaystyle e ^ {- i2 pi { tfrac {k} {N}} n}}$ jádro, levá strana může být „složena“ následujícím způsobem:

{ displaystyle sum _ {m = - infty} ^ { infty} left ( sum _ {n = 0} ^ {N-1} e ^ {- i2 pi { tfrac {k} {N }} n} x (n-mN) vpravo) = součet _ {n = 0} ^ {N-1} e ^ {- i2 pi { tfrac {k} {N}} n} podtržítko { left ( sum _ {m = - infty} ^ { infty} x (n-mN) right)} _ {{ tilde {x}} [n]}.}

tudíž:

Vzorkování DTFT

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ {N-1} e ^ {- i2 pi { tfrac {k} {N}} n} { tilde {x}} [n] = { tilda {X}} [k], quad k = 0, ..., N-1}

(Rovnice 1)

který je diskrétní Fourierova transformace (DFT) jednoho cyklu ${ displaystyle { tilde {x}} [n].}$ Inverzní transformace je:

Diskrétní Fourierova řada

{ displaystyle { tilde {x}} [n] = { frac {1} {N}} součet _ {k = 0} ^ {N-1} { tilde {X}} [k] cdot e ^ {i2 pi { frac {n} {N}} k}, quad n in mathbb {Z},}

^[1]^{:p 542 (ekv 8,4)} ^[2]^{:p 72 (ekv. 4,12)}

(Rovnice 2)

což je reprezentace ${ displaystyle { tilde {x}} [n]}$ posloupnost, pokud jde o součet vážených, harmonicky souvisejících komplexních sinusoidů, v podstatě a Fourierova řada.^[A] Ale na rozdíl od konvenční Fourierovy řady je jejím výsledkem diskrétní sekvence a počet frekvenčních složek je omezen na ${ displaystyle N.}$ Tedy rozdíl diskrétní Fourierova řada.

Viz také

Poznámky

^ Můžeme si všimnout, že stejný popis platí pro jakýkoli inverzní DFT. Rozdíl v tomto případě spočívá v tom, že jednotlivé členy periodického součtu ${ displaystyle { tilde {x}} [n]}$ nejsou omezeny na sekvence délky ${ displaystyle N.}$ ^[1]^{:str. 557–558} ^[2]^{:s. 76}

Reference

^ ^A ^b ^C Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John R. (1999). „4,2, 8,4“. Diskrétní zpracování signálu (2. vyd.). Upper Saddle River, N.J .: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2. vzorky Fourierovy transformace neperiodické sekvence x [n] lze považovat za DFS koeficienty periodické sekvence získané součtem periodických replik x [n]. url =https://d1.amobbs.com/bbs_upload782111/files_24/ourdev_523225.pdf
^ ^A ^b Prandoni, Paolo; Vetterli, Martin (2008). Zpracování signálu pro komunikaci (PDF) (1. vyd.). Boca Raton, FL: CRC Press. p. 76. ISBN 978-1-4200-7046-0. Citováno 4. října 2020. koeficienty DFS pro periodizovaný signál jsou diskrétní sadou hodnot pro jeho DTFT

[3] Můžeme si všimnout, že stejný popis platí pro jakýkoli inverzní DFT. Rozdíl v tomto případě spočívá v tom, že jednotlivé členy periodického součtu ${ displaystyle { tilde {x}} [n]}$ nejsou omezeny na sekvence délky ${ displaystyle N.}$ ^[1]^{:str. 557–558} ^[2]^{:s. 76}

[Oppenheim-1] A ^b ^C Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John R. (1999). „4,2, 8,4“. Diskrétní zpracování signálu (2. vyd.). Upper Saddle River, N.J .: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2. vzorky Fourierovy transformace neperiodické sekvence x [n] lze považovat za DFS koeficienty periodické sekvence získané součtem periodických replik x [n]. url =https://d1.amobbs.com/bbs_upload782111/files_24/ourdev_523225.pdf

[Prandoni-2] A ^b Prandoni, Paolo; Vetterli, Martin (2008). Zpracování signálu pro komunikaci (PDF) (1. vyd.). Boca Raton, FL: CRC Press. p. 76. ISBN 978-1-4200-7046-0. Citováno 4. října 2020. koeficienty DFS pro periodizovaný signál jsou diskrétní sadou hodnot pro jeho DTFT

[1]

[2]

[A]