Digitální biquad filtr - Digital biquad filter

v zpracování signálu, a digitální biquad filtr je druhý řád rekurzivní lineární filtr, obsahující dva póly a dva nuly. „Biquad“ je zkratka „dvojkvadratický", který odkazuje na skutečnost, že v Z doména, své přenosová funkce je poměr dvou kvadratické funkce:

{displaystyle H (z) = {frac {b_ {0} + b_ {1} z ^ {- 1} + b_ {2} z ^ {- 2}} {a_ {0} + a_ {1} z ^ { -1} + a_ {2} z ^ {- 2}}}}

Koeficienty jsou často normalizovány tak, že A₀ = 1:

{displaystyle H (z) = {frac {b_ {0} + b_ {1} z ^ {- 1} + b_ {2} z ^ {- 2}} {1 + a_ {1} z ^ {- 1} + a_ {2} z ^ {- 2}}}}

Vysoký řád IIR filtry může být vysoce citlivý na kvantování svých koeficientů a může se snadno stát nestabilní. To je mnohem menší problém s filtry prvního a druhého řádu; proto jsou filtry vyššího řádu obvykle implementovány jako sériově kaskádové bikvadové sekce (a filtr prvního řádu, pokud je to nutné). Dva póly bikvadového filtru musí být uvnitř kruhu jednotky, aby byl stabilní. Obecně to platí pro všechny diskrétní filtry, tj. Všechny póly musí být uvnitř kruhové jednotky v doméně Z, aby byl filtr stabilní.

Implementace

Přímá forma 1

Nejpřímější implementací je přímá forma 1, která má následující rozdílová rovnice:

{displaystyle y [n] = {frac {1} {a_ {0}}} vlevo (b_ {0} x [n] + b_ {1} x [n-1] + b_ {2} x [n-2 ] -a_ {1} y [n-1] -a_ {2} y [n-2] no)}

nebo, pokud je normalizováno:

{displaystyle y [n] = b_ {0} x [n] + b_ {1} x [n-1] + b_ {2} x [n-2] -a_ {1} y [n-1] -a_ {2} y [n-2]}

Tady ${displaystyle b_ {0}}$ , ${displaystyle b_ {1}}$ a ${displaystyle b_ {2}}$ koeficienty určují nuly a ${displaystyle a_ {1}}$ , ${displaystyle a_ {2}}$ určit polohu pólů.

Vývojový diagram biquad filtru v přímé formě 1:

Přímá forma 2

Přímá implementace formy 1 vyžaduje čtyři registry zpoždění. Ekvivalentní obvod je přímá implementace formy 2, která vyžaduje pouze dva registry zpoždění:

Přímá implementace formy 2 se nazývá kanonická forma, protože využívá minimální množství zpoždění, sčítání a multiplikátorů, což vede ke stejné přenosové funkci jako implementace přímé formy 1. The rozdílové rovnice pro přímou formu 2 jsou:

{displaystyle y [n] = b_ {0} w [n] + b_ {1} w [n-1] + b_ {2} w [n-2],}

kde

{displaystyle w [n] = x [n] -a_ {1} w [n-1] -a_ {2} w [n-2].}

Transponované přímé formuláře

Každá ze dvou přímých forem může být transponována obrácením vývojového grafu bez změny funkce přenosu. Body větvení se mění na léto a léta se mění na body větví.^[1] Poskytují upravené implementace, které dosahují stejné přenosové funkce, která může být matematicky významná v reálné implementaci, kde může dojít ke ztrátě přesnosti ve stavu úložiště.

The rozdílové rovnice pro Transponovaný přímý formulář 2 jsou:

{displaystyle y [n] = b_ {0} x [n] + s_ {1} [n-1],}

kde

{displaystyle s_ {1} [n] = s_ {2} [n-1] + b_ {1} x [n] -a_ {1} y [n]}

a

{displaystyle s_ {2} [n] = b_ {2} x [n] -a_ {2} y [n].}

Transponovaný přímý formulář 1

Přímá forma 1je transponováno do

Transponovaný přímý formulář 2

Přímá forma 2je transponováno do

Kvantování šumu

Když je vzorek n bitů vynásoben koeficientem m bitů, produkt má n + m bitů. Tyto produkty se obvykle hromadí v registru DSP, přidání pěti produktů může vyžadovat 3 přetečení bitů; tento registr je často dostatečně velký, aby pojal n + m + 3 bity. Z⁻¹ je implementováno uložením hodnoty pro jeden čas vzorkování; tento paměťový registr je obvykle n bitů, registr akumulátoru je zaokrouhlen tak, aby se vešel n bitů, a tím byl zaveden kvantovací šum.

V přímém uspořádání formy 1 existuje jediná funkce kvantování / zaokrouhlování.

V přímém uspořádání formy 2 existuje funkce kvantování / zaokrouhlování pro střední hodnotu. V kaskádě nemusí hodnota vyžadovat zaokrouhlování mezi fázemi, ale konečný výstup může vyžadovat zaokrouhlování.

DSP s pevným bodem obvykle upřednostňuje netransponované formy a má akumulátor s velkým počtem bitů a při uložení v hlavní paměti je zaokrouhlený. Plovoucí desetinná čárka DSP obvykle upřednostňuje transponovanou formu, každé násobení a potenciálně každé přidání jsou zaokrouhleny; dodatky jsou výsledkem vyšší přesnosti, když mají oba operandy podobnou velikost.

Viz také

Reference

^ https://ccrma.stanford.edu/~jos/fp/Transposed_Direct_Forms.html

externí odkazy

[1] ttps://ccrma.stanford.edu/~jos/fp/Transposed_Direct_Forms.html

[1]