Dieudonné modul - Dieudonné module

V matematice, a Dieudonné modul představil Jean Dieudonné  (1954, 1957b ), je modul přes nekomutativní Dieudonné prsten, který je generován přes kruh z Wittovy vektory dvěma speciálními endomorfismy F a PROTI volal Frobenius a Verschiebung operátory. Používají se ke studiu konečných plochých komutativních skupinových schémat.

Konečná plochá komutativní skupinová schémata jsou dokonalá pole k pozitivní charakteristiky p lze studovat převedením jejich geometrické struktury do (polo-) lineárně-algebraického nastavení. Základním objektem je Dieudonné prsten

${ displaystyle D = W (k) {F, V } / (FV-p)}$,

což je podíl kružnice nekomutativních polynomů s koeficienty v Wittovy vektory z k. Endomorfismy F a PROTI jsou operátory Frobenius a Verschiebung a na Wittovy vektory mohou působit netriviálně. Dieudonné a Pierre Cartier postavil antiequivalence kategorií mezi konečnými komutativními skupinovými schématy k řádu moc p a moduly přes D s konečnou ${ displaystyle W (k)}$-délka. Funktor Dieudonného modulu v jednom směru je dán homomorfizmy do snopu abelianského CW Wittových ko-vektorů. Tento svazek je víceméně dvojitý s svazkem Wittových vektorů (což je ve skutečnosti reprezentovatelné skupinovým schématem), protože je konstruován přímým omezením Wittových vektorů s konečnou délkou pod postupnými mapami Verschiebung ${ displaystyle V dvojtečka W_ {n} až W_ {n + 1}}$a poté dokončení. Mnoho vlastností komutativních skupinových schémat lze vidět zkoumáním odpovídajících Dieudonných modulů, např. Připojených p- skupinová schémata odpovídají D-modulů, pro které F je nilpotentní a schémata skupin étale odpovídají modulům, pro které F je izomorfismus.

Dieudonné teorie existuje v poněkud obecnějším prostředí než konečné ploché skupiny nad polem. Tadao Oda Diplomová práce z roku 1967 spojila Dieudonné moduly s prvními de Rhamova kohomologie abelianských odrůd a přibližně ve stejnou dobu Alexander Grothendieck navrhl, že by měla existovat krystalická verze teorie, kterou by bylo možné použít k analýze p- dělitelné skupiny. Galoisovy akce na přenos skupinových schémat přes ekvivalence kategorií a související teorie deformací Galoisových reprezentací byla použita v Andrew Wiles práce na Domněnka Shimura – Taniyama.

Dieudonné kroužky

Li k je pole charakteristik p, jeho prsten z Wittovy vektory sestává ze sekvencí (w₁, w₂, w₃, ...) prvků k, a má endomorfismus σ vyvolané Frobeniově endomorfismem k, tak (w₁, w₂, w₃, ...)^σ = (w^p
₁, w^p
₂, w^p
₃, ...). The Dieudonné prsten, často označované E_k nebo D._k, je nekomutativní kruh Ž(k) generované 2 prvky F a PROTI podléhá vztahům

F V = VF = p

Fw = w^σF

wV = Vw^σ.

Je to ${ displaystyle mathbb {Z}}$- stupňovaný kruh, kde je stupeň ${ displaystyle {n in mathbb {Z}}}$ je jednorozměrný bezplatný modul Ž(k), překlenuto PROTI⁻ⁿ -li n ≤ 0 a tím Fⁿ -li n ≥ 0.

Někteří autoři definují Dieudonné prsten jako dokončení prstenu výše pro ideál generovaný F a PROTI.

Dieudonné moduly a skupiny

Speciální druhy modulů nad Dieudonným prstencem odpovídají určitým schématům algebraických skupin. Například moduly s konečnou délkou nad Dieudonným prstencem tvoří abelianskou kategorii ekvivalentní opaku kategorie konečných komutativů p-skupinové režimy skončily k.

Příklady

• Li ${ displaystyle X}$ je konstantní skupinové schéma ${ displaystyle mathbb {Z} / p mathbb {Z}}$ přes ${ displaystyle k}$, pak jeho odpovídající modul Dieudonné ${ displaystyle mathbf {D} (X)}$ je ${ displaystyle k}$ s ${ displaystyle F = mathrm {Frob} _ {k}}$ a ${ displaystyle V = 0}$.
• Pro schéma p-té kořeny jednoty ${ displaystyle X = mu _ {p}}$, pak je odpovídající modul Dieudonné ${ displaystyle mathbf {D} (X) = k}$ s ${ displaystyle F = 0}$ a ${ displaystyle V = mathrm {Frob} _ {k} ^ {- 1}}$.
• Pro ${ displaystyle X = alpha _ {p}}$, definované jako jádro Frobenius ${ displaystyle mathbb {G} _ {a} do mathbb {G} _ {a}}$, modul Dieudonné je ${ displaystyle mathbf {D} (X) = k}$ s ${ displaystyle F = V = 0}$.
• Li ${ displaystyle X = E [p]}$ je p-torze eliptické křivky k (s p-torze v k), pak modul Dieudonné závisí na tom, zda E je nadpřirozený nebo ne.

Teorém klasifikace Dieudonné – Manin

Teorém klasifikace Dieudonné – Manin byl prokázán Dieudonné  (1955 ) a Yuri Manin  (1963 ). Popisuje strukturu Dieudonných modulů nad algebraicky uzavřeným polem k až po „isogeny“. Přesněji klasifikuje konečně generované moduly ${ displaystyle D_ {k} [1 / p]}$, kde ${ displaystyle D_ {k}}$ je Dieudonné prsten. Kategorie těchto modulů je polojednoduchá, takže každý modul je přímým součtem jednoduchých modulů. Jednoduché moduly jsou moduly E_s/r kde r a s jsou coprime celá čísla s r> 0. Modul E_s/r má základ nad Ž(k)[1/p] formuláře proti, F v, F²proti,...,F^r−1proti pro nějaký prvek proti, a F^rproti = p^sproti. Racionální číslo s/r se nazývá sklon modulu.

Dieudonné modul skupinového schématu

Li G je komutativní skupinové schéma, jeho modul Dieudonné D(G) je definován jako Hom (G,Ž), definovaný jako lim_n Hom (G, Ž_n) kde Ž je formální schéma skupiny Witt a Ž_n je zkrácené Wittovo skupinové schéma Wittových vektorů délky n.

Dieudonné modul poskytuje antiequivalences mezi různými druhy komutativních skupinových schémat a levými moduly nad Dieudonným prstenem D.

• Konečná komutativní skupinová schémata p- objednávka napájení odpovídá D moduly, které mají konečnou délku Ž.
• Unipotentní afinní komutativní skupinová schémata odpovídají D moduly, které jsou PROTI-kroucení.
• p- dělitelné skupiny odpovídají D-moduly, které jsou definitivně generovány zdarma Ž-moduly, alespoň nad dokonalými poli.

Dieudonné krystaly

Dieudonné krystal je a krystal D společně s homomorfismy F:D^p→D a PROTI :D→D^p uspokojení vztahů VF=p (na D^p), F V=p (na D). Dieudonné krystaly byly zavedeny Grothendieck (1966). Hrají stejnou roli při klasifikaci algebraických skupin oproti schématům, které Dieudonné moduly hrají pro klasifikaci algebraických skupin přes pole.

Reference

• Cartier, Pierre (1962), „Groupes algébriques et groupes formels“, Colloq. Théorie des Groupes Algébriques (Bruxelles, 1962) (PDF), Librairie Universitaire, Louvain, str. 87–111, PAN  0148665
• Dieudonné, Jean (1955), „Lieovy skupiny a Lieovy hyperalgebry nad polem charakteristické p> 0. IV“, American Journal of Mathematics, 77: 429–452, doi:10.2307/2372633, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372633, PAN  0071718
• Dieudonné, Jean (1957), „Lieovy skupiny a Lieovy hyperalgebry nad polem charakteristické p> 0. VI“, American Journal of Mathematics, 79: 331–388, doi:10.2307/2372686, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372686, PAN  0094413
• Dieudonné, Jean (1957b), „Groupes de Lie et hyperalgèbres de Lie sur un corps de caractéristique p> 0. VII“, Mathematische Annalen, 134: 114–133, doi:10.1007 / BF01342790, ISSN  0025-5831, PAN  0098146
• Dolgachev, Igor V. (2001) [1994], "Dieudonné modul", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Grothendieck, Alexander (1966), Dopis J. Tateovi (PDF).
• Manin, Yuri I. (1963), „Teorie komutativních formálních grup přes pole konečné charakteristiky“, Akademiya Nauk SSSR i Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 18 (6): 3–90, doi:10.1070 / RM1963v018n06ABEH001142, ISSN  0042-1316, PAN  0157972

externí odkazy

• Zdi, Patrick (2013), Dieudonné moduly a p- dělitelné skupiny (PDF)