Produkt hloubky - Depth–slope product

The produkt hloubky svahu se používá k výpočtu smykové napětí v posteli an otevřený kanál obsahující tekutina který prochází stabilní, jednotný tok. Je široce používán v říční inženýrství, obnova proudu, sedimentologie, a fluviální geomorfologie. To je produkt vody hloubka a střední postel sklon, spolu s gravitační zrychlení a hustota tekutiny.

Formulace

Použití produktu hloubky - svahu - při výpočtu smykového napětí postele - konkrétně odkazuje na dva předpoklady, které jsou široce použitelné pro přírodní řeka kanály: že úhel kanálu od vodorovné polohy je dostatečně malý, aby jej bylo možné odhadnout jako sklon pomocí vzorec malého úhlu, a že kanál je mnohem širší než hluboký a efekty bočních stěn lze ignorovat. I když je to zjednodušující přístup, najít smykové napětí v tom, co může být často lokálně nestabilní říční Pokud jsou tyto systémy průměrovány na vzdálenost kilometrů, jsou tyto místní odchylky průměrné a součin hloubky se stává užitečným nástrojem k pochopení smykového napětí v otevřených kanálech, jako jsou řeky.

Hloubka a hydraulický poloměr

Prvním předpokladem je, že kanál je mnohem širší než hluboký a rovnice lze řešit, jako by byl kanál nekonečně široký. To znamená, že efekty bočních stěn lze ignorovat a že hydraulický poloměr, ${displaystyle R_ {h}}$ , lze předpokládat, že se rovná hloubce kanálu, ${displaystyle h}$ .

{displaystyle R_ {h} = {frac {A} {P}}}

kde ${displaystyle A}$ je plocha průřezu toku a ${displaystyle P}$ je navlhčený obvod. Pro půlkruhový kanál by byl hydraulický poloměr prostě tím pravým poloměr.

Pro přibližně obdélníkový kanál (pro jednoduchost matematiky vysvětlení předpokladu),

{displaystyle A = bh}

,

kde ${displaystyle b}$ je šířka (šířka) kanálu a

{displaystyle P = b + 2h}

.

Pro b >> h,

{displaystyle Pightarrow b}

,

a proto

{displaystyle R_ {h} ightarrow {frac {bh} {b}} = h}

.

Formálně lze tento předpoklad obecně držet, když je šířka větší než přibližně 20násobek výšky; přesné množství vzniklé chyby lze zjistit porovnáním výšky s hydraulickým poloměrem. U kanálů s nižším poměrem šířky k hloubce lze nalézt lepší řešení pomocí hydraulického poloměru namísto výše uvedeného zjednodušení.

Tlak

Celkem stres na lůžku otevřeného kanálu nekonečné šířky je dáno hydrostatický tlak působící na posteli. Pro tekutinu hustota ${displaystyle ho}$ , an gravitační zrychlení ${displaystyle g}$ a hloubku toku ${displaystyle h}$ , tlak vyvíjený na postel je jednoduše váha prvku tekutiny, ${displaystyle ho g}$ krát hloubky toku, ${displaystyle h}$ . Z toho dostaneme výraz pro celkový tlak, ${displaystyle P_ {b}}$ , působící na posteli.

{displaystyle P_ {b} = ho gh,}

Smykové napětí

Aby bylo možné převést tlak na smykové napětí, je nutné určit součástka tlaku, který zajišťuje střih na lůžku. Pro kanál, který je pod úhlem ${displaystyle alpha}$ z vodorovné smykové složky napětí působícího na postel ${displaystyle / left (au _ {b} ight)}$ , což je složka působící tangenciálně k loži, se rovná celkovému tlaku krát sinus úhlu ${displaystyle alpha}$ .

{displaystyle au _ {b} = ho ghsin {left (alpha ight)},}

V přírodních řekách úhel ${displaystyle alpha}$ je obvykle velmi malý. Výsledkem je, že vzorec s malým úhlem uvádí, že:

{displaystyle sin {left (alpha ight)} cca {left (alpha ight)}}

Tečna úhlu ${displaystyle alpha}$ je ze své podstaty stejný jako sklon kanálu, ${displaystyle S}$ .

{displaystyle a {left (alpha ight)} equiv S}

Z toho můžeme dospět ke konečné podobě vztahu mezi smykovým napětím lože a součinem hloubky a svahu:

{displaystyle au _ {b} = ho ghS,}

Škálování

Za předpokladu jediného, dobře promíchaného homogenní tekutina a jediné zrychlení v důsledku gravitace (obě jsou dobrým předpokladem v přírodních řekách a druhé je dobrým předpokladem pro procesy na Zemi nebo jakékoli planetární těleso s dominantním vlivem na místní gravitační pole), jediné dvě proměnné, které určují mezní smykové napětí je hloubka a sklon. To je význam názvu vzorce.

{displaystyle au _ {b} propto hS}

Pro přírodní toky, v mks nebo SI systém (jednotky pascaly pro smykové napětí), typickým užitečným vztahem k zapamatování je, že:

{displaystyle au _ {b} = 10 000 vlevo [{frac {mathrm {kg}} {mathrm {m} ^ {2} mathrm {s} ^ {2}}} vpravo] hS}

pro vodu s hustotou 1000 kg / m³ a přibližné zrychlení v důsledku gravitace je 10 m / s² (chyba v tomto předpokladu je obvykle mnohem menší než chyba z měření).

Použití

Napětí ve smyku lze použít k nalezení:

Vertikální rychlost profil v toku tekutiny
Schopnost tekutina na nést sediment
Rychlost smyku disperze kontaminantů a stopovacích látek.

Viz také

Reference

Leopold, Wolman a Miller (1964), Fluviální procesy v geomorfologii, Dover Publications, Mineola, NY, USA, 535 stran