Darwin – Fowlerova metoda - Darwin–Fowler method - Wikipedia

v statistická mechanika, Darwin – Fowlerova metoda se používá k odvození distribuční funkce se střední pravděpodobností. Byl vyvinut společností Charles Galton Darwin a Ralph H. Fowler v letech 1922–1923.^[1][2]

Distribuční funkce se používají ve statistické fyzice k odhadu průměrného počtu částic zaujímajících energetickou hladinu (odtud také nazývaných čísla zaměstnání). Tato rozdělení jsou většinou odvozena jako čísla, pro která je uvažovaný systém ve stavu maximální pravděpodobnosti. Ale jeden opravdu vyžaduje průměrná čísla. Tato průměrná čísla lze získat metodou Darwin – Fowler. Samozřejmě pro systémy v termodynamický limit (velký počet částic), stejně jako ve statistické mechanice, jsou výsledky stejné jako při maximalizaci.

Darwin – Fowlerova metoda

Ve většině textů na statistická mechanika funkce statistické distribuce ${ displaystyle f}$ v Statistiky Maxwell – Boltzmann, Statistiky Bose – Einstein, Statistiky Fermi – Dirac ) jsou odvozeny určením těch, u nichž je systém ve stavu maximální pravděpodobnosti. Ale jeden opravdu vyžaduje ty s průměrnou nebo střední pravděpodobností, i když - samozřejmě - výsledky jsou obvykle stejné pro systémy s velkým počtem prvků, jako je tomu ve statistické mechanice. Metodu pro odvození distribučních funkcí se střední pravděpodobností vyvinul C. G. Darwin a Fowler^[2] a je proto známá jako Darwin – Fowlerova metoda. Tato metoda je nejspolehlivějším obecným postupem pro odvození statistických distribučních funkcí. Protože metoda využívá selektorovou proměnnou (faktor zavedený pro každý prvek, který umožňuje postup počítání), je tato metoda také známá jako Darwin – Fowlerova metoda selektorových proměnných. Všimněte si, že distribuční funkce není stejná jako pravděpodobnost - srov. Distribuce Maxwell – Boltzmann, Distribuce Bose – Einstein, Distribuce Fermi – Dirac. Všimněte si také, že distribuční funkce ${ displaystyle f_ {i}}$ což je míra zlomku těch stavů, které jsou ve skutečnosti obsazeny prvky, je dána vztahem ${ displaystyle f_ {i} = n_ {i} / g_ {i}}$ nebo ${ displaystyle n_ {i} = f_ {i} g_ {i}}$, kde ${ displaystyle g_ {i}}$ je degenerace energetické úrovně ${ displaystyle i}$ energie ${ displaystyle varepsilon _ {i}}$ a ${ displaystyle n_ {i}}$ je počet prvků zabírajících tuto úroveň (např. ve statistikách Fermi – Dirac 0 nebo 1). Celková energie ${ displaystyle E}$ a celkový počet prvků ${ displaystyle N}$ jsou pak dány ${ displaystyle E = součet _ {i} n_ {i} varepsilon _ {i}}$ a ${ displaystyle N = součet n_ {i}}$.

Metoda Darwin – Fowler byla zpracována v textech E. Schrödinger,^[3] Fowler^[4] a Fowler a E. A. Guggenheim,^[5] z K. Huang,^[6] a ze dne H. J. W. Müller – Kirsten.^[7] Metoda je také diskutována a použita pro odvození Bose – Einsteinova kondenzace v knize R. B. Dingle [de ].^[8]

Klasická statistika

Pro ${ displaystyle N = součet _ {i} n_ {i}}$ nezávislé prvky s ${ displaystyle n_ {i}}$ na úrovni energie ${ displaystyle varepsilon _ {i}}$ a ${ displaystyle E = součet _ {i} n_ {i} varepsilon _ {i}}$ pro kanonický systém v tepelné lázni s teplotou ${ displaystyle T}$ jsme si stanovili

${ displaystyle Z = sum _ { text {ujednání}} e ^ {- E / kT} = součet _ { text {ujednání}} prod _ {i} z_ {i} ^ {n_ {i} }, ; ; ; z_ {i} = e ^ {- varepsilon _ {i} / kT}.}$

Průměr ve všech uspořádáních je průměrné číslo zaměstnání

${ displaystyle (n_ {i}) _ { text {av}} = { frac { sum _ {j} n_ {j} Z} {Z}} = z_ {j} { frac { částečný} { částečné z_ {j}}} ln Z.}$

Vložte proměnnou selektoru ${ displaystyle omega}$ nastavením

${ displaystyle Z _ { omega} = sum prod _ {i} ( omega z_ {i}) ^ {n_ {i}}.}$

V klasické statistice ${ displaystyle N}$ prvky jsou (a) rozeznatelné a lze je uspořádat pomocí paketů ${ displaystyle n_ {i}}$ prvky na úrovni ${ displaystyle varepsilon _ {i}}$ jehož číslo je

${ displaystyle { frac {N!} { prod _ {i} n_ {i}!}},}$

takže v tomto případě

${ displaystyle Z _ { omega} = N! sum _ {n_ {i}} prod _ {i} { frac {( omega z_ {i}) ^ {n_ {i}}} {n_ {i }!}}.}$

Umožnění (b) degenerace ${ displaystyle g_ {i}}$ úrovně ${ displaystyle varepsilon _ {i}}$ tento výraz se stává

${ displaystyle Z _ { omega} = N! prod _ {i = 1} ^ { infty} left ( sum _ {n_ {i} = 0,1,2, ldots} { frac {( omega z_ {i}) ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}} vpravo) ^ {g_ {i}} = N! e ^ { omega sum _ {i} g_ {i } z_ {i}}.}$

Proměnná selektoru ${ displaystyle omega}$ umožňuje vybrat koeficient ${ displaystyle omega ^ {N}}$ který je ${ displaystyle Z}$. Tím pádem

${ displaystyle Z = left ( sum _ {i} g_ {i} z_ {i} right) ^ {N},}$

a tudíž

${ displaystyle (n_ {j}) _ { text {av}} = z_ {j} { frac { částečné} { částečné z_ {j}}} ln Z = N { frac {g_ {j } e ^ {- varepsilon _ {j} / kT}} { sum _ {i} g_ {i} e ^ {- varepsilon _ {i} / kT}}}.}$

Tento výsledek, který souhlasí s nejpravděpodobnější hodnotou získanou maximalizací, nezahrnuje jedinou aproximaci, a je tedy přesný, a tak ukazuje sílu této Darwin – Fowlerovy metody.

Kvantová statistika

Máme, jak je uvedeno výše

${ displaystyle Z _ { omega} = sum prod ( omega z_ {i}) ^ {n_ {i}}, ; z_ {i} = e ^ {- varepsilon _ {i} / kT },}$

kde ${ displaystyle n_ {i}}$ je počet prvků v energetické úrovni ${ displaystyle varepsilon _ {i}}$. Vzhledem k tomu, že prvky kvantové statistiky nelze rozlišit, neexistuje předběžný výpočet počtu způsobů dělení prvků na pakety ${ displaystyle n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}, ...}$ je požadováno. Proto součet ${ displaystyle sum}$ odkazuje pouze na součet nad možnými hodnotami ${ displaystyle n_ {i}}$.

V případě Statistiky Fermi – Dirac my máme

${ displaystyle n_ {i} = 0}$ nebo ${ displaystyle n_ {i} = 1}$

na stát. Existují ${ displaystyle g_ {i}}$ stavy pro energetickou hladinu ${ displaystyle varepsilon _ {i}}$Proto máme

${ displaystyle Z _ { omega} = (1+ omega z_ {1}) ^ {g_ {1}} (1+ omega z_ {2}) ^ {g_ {2}} cdots = prod (1 + omega z_ {i}) ^ {g_ {i}}.}$

V případě Statistiky Bose – Einstein my máme

${ displaystyle n_ {i} = 0,1,2,3, ldots infty.}$

Stejným postupem jako dříve jsme získali v projednávané věci

${ displaystyle Z _ { omega} = (1+ omega z_ {1} + ( omega z_ {1}) ^ {2} + ( omega z_ {1}) ^ {3} + cdots) ^ { g_ {1}} (1+ omega z_ {2} + ( omega z_ {2}) ^ {2} + cdots) ^ {g_ {2}} cdots.}$

Ale

${ displaystyle 1+ omega z_ {1} + ( omega z_ {1}) ^ {2} + cdots = { frac {1} {(1- omega z_ {1})}}}}$

Proto

${ displaystyle Z _ { omega} = prod _ {i} (1- omega z_ {i}) ^ {- g_ {i}}.}$

Shrnutí obou případů a připomíná definici ${ displaystyle Z}$, máme to ${ displaystyle Z}$ je koeficient ${ displaystyle omega ^ {N}}$ v

${ displaystyle Z _ { omega} = prod _ {i} (1 pm omega z_ {i}) ^ { pm g_ {i}},}$

kde horní znaménka platí pro statistiku Fermi – Dirac a dolní znaménka pro statistiku Bose – Einstein.

Dále musíme vyhodnotit koeficient ${ displaystyle omega ^ {N}}$ v ${ displaystyle Z _ { omega}.}$V případě funkce ${ displaystyle phi ( omega)}$ které lze rozšířit jako

${ displaystyle phi ( omega) = a_ {0} + a_ {1} omega + a_ {2} omega ^ {2} + cdots,}$

koeficient ${ displaystyle omega ^ {N}}$ je, s pomocí věta o zbytku z Cauchy,

${ displaystyle a_ {N} = { frac {1} {2 pi i}} mast { frac { phi ( omega) d omega} { omega ^ {N + 1}}}.}$

Poznamenáváme, že obdobně koeficient ${ displaystyle Z}$ ve výše uvedeném lze získat jako

${ displaystyle Z = { frac {1} {2 pi i}} mast { frac {Z _ { omega}} { omega ^ {N + 1}}} d omega equiv { frac { 1} {2 pi i}} int e ^ {f ( omega)} d omega,}$

kde

${ displaystyle f ( omega) = pm sum _ {i} g_ {i} ln (1 pm omega z_ {i}) - (N + 1) ln omega.}$

Diferenciace získá

${ displaystyle f '( omega) = { frac {1} { omega}} vlevo [ sum _ {i} { frac {g_ {i}} {( omega z_ {i}) ^ { -1} pm 1}} - (N + 1) vpravo],}$

a

${ displaystyle f '' ( omega) = { frac {N + 1} { omega ^ {2}}} mp { frac {1} { omega ^ {2}}} součet _ {i } { frac {g_ {i}} {[( omega z_ {i}) ^ {- 1} pm 1] ^ {2}}}.}$

Jeden nyní hodnotí první a druhý derivát ${ displaystyle f ( omega)}$ ve stacionárním bodě ${ displaystyle omega _ {0}}$ na kterém ${ displaystyle f '( omega _ {0}) = 0.}$. Tato metoda hodnocení ${ displaystyle Z}$ okolo sedlový bod ${ displaystyle omega _ {0}}$je známý jako metoda nejstrmějšího klesání. Jeden pak získá

${ displaystyle Z = { frac {e ^ {f ( omega _ {0})}} { sqrt {2 pi f '' ( omega _ {0})}}}}}$

My máme ${ displaystyle f '( omega _ {0}) = 0}$ a tudíž

${ displaystyle N (+1) = součet _ {i} { frac {g_ {i}} {( omega _ {0} z_ {i}) ^ {- 1} pm 1}}}$

(+1 je od té doby zanedbatelný ${ displaystyle N}$ je velký). Za chvíli uvidíme, že tento poslední vztah je jednoduše vzorec

${ displaystyle N = součet _ {i} n_ {i}.}$

Získáváme průměrné číslo zaměstnání ${ displaystyle (n_ {i}) _ {av}}$ hodnocením

${ displaystyle (n_ {j}) _ {av} = z_ {j} { frac {d} {dz_ {j}}} ln Z = { frac {g_ {j}} {( omega _ { 0} z_ {j}) ^ {- 1} pm 1}} = { frac {g_ {j}} {e ^ {( varepsilon _ {j} - mu) / kT} pm 1}} , quad e ^ { mu / kT} = omega _ {0}.}$

Tento výraz udává průměrný počet prvků z celkem ${ displaystyle N}$ v objemu ${ displaystyle V}$ které zabírají při teplotě ${ displaystyle T}$ úroveň 1 částice ${ displaystyle varepsilon _ {j}}$ s degenerací ${ displaystyle g_ {j}}$ (viz např. apriorní pravděpodobnost ). Aby byl vztah spolehlivý, mělo by se zkontrolovat, zda se příspěvky vyššího řádu zpočátku snižují, aby expanze kolem sedlového bodu skutečně poskytla asymptotickou expanzi.

Další čtení

• Mehra, Jagdish; Schrödinger, Erwin; Rechenberg, Helmut (2000-12-28). Historický vývoj kvantové teorie. Springer Science & Business Media. ISBN  9780387951805.

Reference