Cyklická monotónnost - Cyclical monotonicity

v matematika, cyklická monotónnost je zobecněním pojmu monotónnost k případu funkce s vektorovou hodnotou.^[1][2]

Definice

Nechat ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ označte vnitřní produkt na vnitřní produktový prostor ${ displaystyle X}$ a nechte ${ displaystyle U}$ být neprázdnou podmnožinou ${ displaystyle X}$. A korespondence ${ displaystyle f: U rightrightarrows X}$ je nazýván cyklicky monotónní pokud pro každou sadu bodů ${ displaystyle x_ {1}, tečky, x_ {m + 1} v U}$ s ${ displaystyle x_ {m + 1} = x_ {1}}$ to platí ${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {m} langle x_ {k + 1}, f (x_ {k + 1}) - f (x_ {k}) rangle geq 0.}$^[3]

Vlastnosti

• V případě skalárních funkcí jedné proměnné je výše uvedená definice obvyklá monotónnost
• Přechody z konvexní funkce jsou cyklicky monotónní
• Ve skutečnosti je obrácení pravdivé.^[4] Předpokládat ${ displaystyle U}$ je konvexní a ${ displaystyle f: U rightrightarrows mathbb {R} ^ {n}}$je korespondence s neprázdnými hodnotami. Pak pokud ${ displaystyle f}$ je cyklicky monotónní, pak existuje svršek polokontinuální konvexní funkce ${ displaystyle F: U to mathbb {R}}$ takhle ${ Displaystyle f (x) podmnožina částečné F (x)}$ pro každého ${ displaystyle x v U}$, kde ${ displaystyle částečné F (x)}$ označuje subgradient z ${ displaystyle F}$ na ${ displaystyle x}$.^[5]

Reference