CUSUM - CUSUM

Tabulka CUSUM
Původně navrhl	E. S. Page
Pozorování procesu
Racionální velikost podskupiny	n = 1
Typ měření	Kumulativní součet kvalitativní charakteristiky
Charakteristický typ kvality	Proměnné údaje
Podkladová distribuce	Normální distribuce
Výkon
Velikost posunu k detekci	≤ 1,5σ
Graf variace procesu
Nelze použít
Zpracovat průměrný graf
Středová čára	Cílová hodnota, T, kvalitativní charakteristiky
Horní mez kontroly	${displaystyle C_ {i} ^ {+} = max lbrack 0, x_ {i} -left (T + Kight) + C_ {i-1} ^ {+} závorka}$
Dolní mez ovládání	${displaystyle C_ {i} ^ {-} = max lbrack 0, left (T-Kight) -x_ {i} + C_ {i-1} ^ {-} závorka}$
Vynesená statistika	${displaystyle C_ {i} = součet _ {j = 1} ^ {i} {ar {x}} _ {j} -T}$

v statistická kontrola kvality, CUSUM (nebo kumulativní součet kontrolní graf) je sekvenční analýza technika vyvinutá E. S. Stránkou Univerzita v Cambridge. Obvykle se používá pro monitorování detekce změn.^[1]CUSUM bylo oznámeno v Biometrika v roce 1954, několik let po zveřejnění Wald je SPRT algoritmus.^[2]

Stránka odkazovala na „číslo kvality“ ${displaystyle heta}$, kterým měl na mysli parametr rozdělení pravděpodobnosti; například znamenat. Vymyslel CUSUM jako metodu k určení změn v něm a navrhl kritérium pro rozhodnutí, kdy přijmout nápravná opatření. Pokud je metoda CUSUM použita na průměrné změny, lze ji použít pro kroková detekce a časové řady.

O pár let později, George Alfred Barnard vyvinul vizualizační metodu, graf V-masky, pro detekci zvýšení i snížení v ${displaystyle heta}$.^[3]

Metoda

Jak název napovídá, CUSUM zahrnuje výpočet a cumulativní součet (díky čemuž je „sekvenční“). Ukázky z procesu ${displaystyle x_ {n}}$ jsou přiřazeny váhy ${displaystyle omega _ {n}}$a shrnuto takto:

${displaystyle S_ {0} = 0}$

${displaystyle S_ {n + 1} = max (0, S_ {n} + x_ {n} -omega _ {n})}$

Když hodnota S překročí určitou prahovou hodnotu, byla nalezena změna hodnoty. Výše uvedený vzorec detekuje pouze změny v pozitivním směru. Když je třeba najít také negativní změny, měla by se místo maximální operace použít min. Operace a tentokrát byla nalezena změna, když hodnota S je níže (záporná) hodnota prahové hodnoty.

Page to výslovně neřekl ${displaystyle omega}$ představuje funkce pravděpodobnosti, ale toto je běžné použití. Všimněte si, že to není ekvivalentní „cumsum“ Matlabu.

Všimněte si, že se to liší od SPRT tím, že vždy používáte nulovou funkci jako spodní „přidržovací bariéru“, spíše než nižší „přidržovací bariéru“.^[1] CUSUM také nevyžaduje použití funkce pravděpodobnosti.

Jako prostředek k hodnocení výkonu CUSUM definovala Page průměrná délka běhu (A.R.L.) metrický; "očekávaný počet článků odebraných do vzorku před přijetím opatření." Dále napsal:^[2]

Když je kvalita výstupu uspokojivá, A.R.L. je míra výdajů vzniklých systému, když poskytuje falešné poplachy, tj. Chyby typu I. (Neyman & Pearson, 1936^[4]). Na druhou stranu pro trvalou špatnou kvalitu A.R.L. měří zpoždění a tím množství šrotu vyprodukovaného před přijetím nápravného opatření, tj. Chyby typu II.

Příklad

Následující příklad ukazuje 20 pozorování ${displaystyle X}$ procesu se střední hodnotou 0 a směrodatnou odchylkou 0,5.

Z ${displaystyle Z}$ sloupec, je to vidět ${displaystyle X}$ nikdy se neodchyluje o 3 standardní odchylky (${displaystyle 3sigma}$), takže pouhé upozornění na vysokou odchylku poruchu nezjistí, zatímco CUSUM ukazuje, že ${displaystyle S_ {H}}$ hodnota překročí 4 na 17^th pozorování.

Sloupec	Popis
${displaystyle X}$	Pozorování procesu s očekávaným průměrem ${displaystyle {ar {x}}}$ 0 a očekávaná směrodatná odchylka ${displaystyle sigma _ {X}}$ 0,5
${displaystyle Z}$	Normalizovaná pozorování, tj. soustředěný kolem průměru a zmenšený směrodatnou odchylkou ${displaystyle Z_ {n} = {frac {X_ {n} - {ar {x}}} {sigma _ {X}}}}$
${displaystyle S_ {H}}$	The vysoký Hodnota CUSUM, detekce pozitivní anomálie, ${displaystyle {S_ {H}} _ {n + 1} = max (0, {S_ {H}} _ {n} + Z_ {n} -omega)}$
${displaystyle S_ {L}}$	The nízký Hodnota CUSUM, detekující negativní anomálii, ${displaystyle {S_ {L}} _ {n + 1} = max (0, {S_ {L}} _ {n} -Z_ {n} -omega)}$

Varianty

Kumulativní pozorované-minus očekávané grafy^[1] jsou související metoda.

Reference

Další čtení

• Michèle Basseville a Igor V. Nikiforov (duben 1993). Detekce náhlých změn: teorie a aplikace. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. ISBN  0-13-126780-9.
• Mishra, S., Vanli, O. A., & Park, C (2015). „Metoda vícerozměrného kumulativního součtu pro kontinuální monitorování poškození pomocí senzorů jehněčích vln“, International Journal of Prognostics and Health Management, ISSN  2153-2648

externí odkazy

• "Příručka inženýrských statistik - grafy řízení Cusum"