Crouzeixs dohad - Crouzeixs conjecture - Wikipedia

Crouzeixova domněnka je nevyřešený (od roku 2018)^[1] problém v maticová analýza. Navrhl to Michel Crouzeix v roce 2004,^[2] a zjemňuje to Crouzeixova věta, které státy:^[3]

${ displaystyle | f (A) | leq 11.08 sup _ {z ve W (A)} | f (z) |}$

kde je soubor ${ displaystyle W (A)}$ je pole hodnot a n×n (tj. náměstí ) komplexní matice ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle f}$ je komplexní funkce, která je analytická uvnitř ${ displaystyle W (A)}$ a kontinuální až k hranici ${ displaystyle W (A)}$. Konstanta ${ displaystyle 11.08}$ je nezávislý na matici dimenze, tedy přenositelné do nekonečně rozměrných nastavení. Dosud neprokázaná domněnka uvádí, že konstanta je ostrá ${ displaystyle 2}$:

${ displaystyle | f (A) | leq 2 sup _ {z ve W (A)} | f (z) |}$

Michel Crouzeix a Cesar Palencia v roce 2017 dokázali, že výsledek platí ${ displaystyle 1 + { sqrt {2}}}$,^[4] zlepšení původní konstanty ${ displaystyle 11.08}$.

Mírně přeformulované dohady lze konstatovat následovně: Pro všechny čtvercové komplexní matice ${ displaystyle A}$ a všechny složité polynomy ${ displaystyle p}$:

${ displaystyle | p (A) | leq 2 sup _ {z ve W (A)} | p (z) |}$

drží, kde normou na levé straně je spektrální operátor 2-norma.

I když obecný případ není znám, je známo, že domněnka platí pro tridiagonální matice 3 × 3 s eliptickým polem hodnot se středem na vlastní číslo^[5] a obecně n×n matice, které jsou téměř Jordanovými bloky.^[6] Dále Anne Greenbaum a Michael L. Overton poskytli numerickou podporu pro Crouzeixovu domněnku.^[7]

Další čtení

• Ransford, Thomas; Schwenninger, Felix L. (01.03.2018). „Poznámky k důkazu Crouzeix – Palencia, že číselný rozsah je a ${ displaystyle (1 + { sqrt {2}})}$-Spectral Set ". SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 39 (1): 342–345. arXiv:1708.08633. doi:10.1137 / 17M1143757.
• Gorkin, Pamela; Bickel, Kelly (2018-10-27). Msgstr "Numerický rozsah a komprese posunu". arXiv:1810.11680 [matematika. FA ].

Reference