Coxeter matroid - Coxeter matroid

V matematice Coxeter matroidy jsou zobecnění matroidy v závislosti na výběru a Skupina coxeterů Ž a a parabolická podskupina  P. Obyčejné matroidy odpovídají případu, kdy P je maximální parabolická podskupina symetrické skupiny Ž. Představili je Gelfand a Serganova (1987, 1987b ), který je pojmenoval H. S. M. Coxeter.

Borovik, Gelfand & White (2003) podrobně vysvětlete matice coxeterů.

Definice

Předpokládejme to Ž je skupina Coxeter, generovaná sadou S involucí a P je parabolická podskupina (podskupina generovaná nějakou podskupinou z S). A Coxeter matroid je podmnožina M z Ž/P to pro každého w v Ž, M obsahuje jedinečný minimální prvek s ohledem na w-Bruhatův řád.

Vztah k matroidům

Předpokládejme, že skupina Coxeter Ž je symetrická skupina Sn a P je parabolická podskupina Sk×Sn–k. Pak Ž/P lze identifikovat pomocí k-prvkové podmnožiny n-prvková sada {1,2, ...,n} a prvky w z Ž odpovídají lineárnímu uspořádání této sady. Matroid Coxeter se skládá z k sady prvků takové, že pro každý w v odpovídajícím Bruhatově pořadí je jedinečný minimální prvek k-prvkové podmnožiny. To je přesně definice matroidu hodnosti k na n-prvek nastaven z hlediska základů: matroid lze definovat jako některé k-prvkové podmnožiny zvané báze an n- sada prvků tak, že pro každé lineární uspořádání sady existuje jedinečná minimální základna v souboru Objednávání vichřice z k-prvkové podmnožiny.

Reference

  • Borovik, Alexandre V .; Gelfand, I.M .; White, Neil (2003), Coxeter matroidyPokrok v matematice, 216, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi:10.1007/978-1-4612-2066-4, ISBN  978-0-8176-3764-4, PAN  1989953
  • Gelfand, I.M .; Serganova, V. V. (1987), „O obecné definici matroidu a greedoida“, Doklady Akademii Nauk SSSR (v Rusku), 292 (1): 15–20, ISSN  0002-3264, PAN  0871945
  • Gelfand, I.M .; Serganova, V. V. (1987b), „Kombinatoriální geometrie a vrstvy torusu na homogenních kompaktních varietách“, Akademiya Nauk SSSR I Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 42 (2): 107–134, doi:10.1070 / RM1987v042n02ABEH001308, ISSN  0042-1316, PAN  0898623 - anglický překlad v ruštině Mathematical Surveys 42 (1987), č. 2, 133–168