Ovládatelnost Gramian

v teorie řízení, možná budeme muset zjistit, zda systém jako je

${displaystyle {egin {array} {c} {dot {oldsymbol {x}}} (t) {oldsymbol {= Axe}} (t) + {oldsymbol {Bu}} (t) {oldsymbol {y}} ( t) = {oldsymbol {Cx}} (t) + {oldsymbol {Du}} (t) konec {pole}}}$

je ovladatelný, kde ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ , ${displaystyle {oldsymbol {B}}}$ , ${displaystyle {oldsymbol {C}}}$ a ${displaystyle {oldsymbol {D}}}$ jsou ${displaystyle n imes n}$ , ${displaystyle n imes p}$ , ${displaystyle q imes n}$ a ${displaystyle q imes p}$ matice.

Jedním z mnoha způsobů, jak lze dosáhnout tohoto cíle, je použití Ovládatelnost Gramian.

Říditelnost v systémech LTI

Systémy lineárního časově proměnného (LTI) jsou systémy, ve kterých jsou parametry ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ , ${displaystyle {oldsymbol {B}}}$ , ${displaystyle {oldsymbol {C}}}$ a ${displaystyle {oldsymbol {D}}}$ jsou neměnné s ohledem na čas.

Při pohledu na pár lze pozorovat, zda je nebo není LTI systém ovladatelný ${displaystyle ({oldsymbol {A}}, {oldsymbol {B}})}$ . Potom můžeme říci, že následující tvrzení jsou ekvivalentní:

1. Dvojice ${displaystyle ({oldsymbol {A}}, {oldsymbol {B}})}$ je ovladatelný.

2. The ${displaystyle n imes n}$ matice

${displaystyle {oldsymbol {W_ {c}}} (t) = int _ {0} ^ {t} e ^ {{oldsymbol {A}} au} {oldsymbol {BB ^ {T}}} e ^ {{oldsymbol {A}} ^ {T} au} d au = int _ {0} ^ {t} e ^ {{oldsymbol {A}} (t- au)} {oldsymbol {BB ^ {T}}} e ^ { {oldsymbol {A}} ^ {T} (t- au)} d au}$

je pro všechny nesmyslný ${displaystyle t> 0}$ .

3. The ${displaystyle n imes np}$ matice ovladatelnosti

${displaystyle {mathcal {C}} = [{egin {array} {ccccc} {oldsymbol {B}} & {oldsymbol {AB}} & {oldsymbol {A ^ {2} B}} & ... & {oldsymbol {A ^ {n-1} B}} konec {pole}}]}$

má hodnost n.

4. The ${displaystyle n imes (n + p)}$ matice

${displaystyle [{egin {array} {cc} {oldsymbol {A}} {oldsymbol {-lambda}} {oldsymbol {I}} a {oldsymbol {B}} konec {pole}}]}$

má celou řadu řádků na každém vlastním čísle ${displaystyle lambda}$ z ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ .

Pokud navíc všechny vlastní hodnoty ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ mít záporné skutečné části ( ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ je stabilní) a jedinečné řešení Lyapunovova rovnice

${displaystyle {oldsymbol {A}} {oldsymbol {W}} _ {c} + {oldsymbol {W}} _ {c} {oldsymbol {A ^ {T}}} = - {oldsymbol {BB ^ {T}} }}$

je kladně definitivní, systém je ovladatelný. Řešení se nazývá Controllability Gramian a lze jej vyjádřit jako

${displaystyle {oldsymbol {W_ {c}}} = int _ {0} ^ {infty} e ^ {{oldsymbol {A}} au} {oldsymbol {BB ^ {T}}} e ^ {{oldsymbol {A} } ^ {T} au} d au}$

V následující části se blíže podíváme na Controlianability Gramian.

Kontrolovatelnost Gramian lze najít jako řešení Lyapunovova rovnice dána

${displaystyle {oldsymbol {A}} {oldsymbol {W}} _ {c} + {oldsymbol {W}} _ {c} {oldsymbol {A ^ {T}}} = - {oldsymbol {BB ^ {T}} }}$

Ve skutečnosti to můžeme vidět, pokud si vezmeme

${displaystyle {oldsymbol {W_ {c}}} = int _ {0} ^ {infty} e ^ {{oldsymbol {A}} au} {oldsymbol {BB ^ {T}}} e ^ {{oldsymbol {A} } ^ {T} au} d au}$

jako řešení zjistíme, že:

${displaystyle {egin {array} {ccccc} {oldsymbol {A}} {oldsymbol {W}} _ {c} + {oldsymbol {W}} _ {c} {oldsymbol {A ^ {T}}} & = & int _ {0} ^ {infty} {oldsymbol {A}} e ^ {{oldsymbol {A}} au} {oldsymbol {BB ^ {T}}} e ^ {{oldsymbol {A}} ^ {T} au} d au & + & int _ {0} ^ {infty} e ^ {{oldsymbol {A}} au} {oldsymbol {BB ^ {T}}} e ^ {{oldsymbol {A}} ^ {T} au} { oldsymbol {A ^ {T}}} d au & = & int _ {0} ^ {infty} {frac {d} {d au}} (e ^ {{oldsymbol {A}} au} {oldsymbol {B} } {oldsymbol {B}} ^ {T} e ^ {{oldsymbol {A}} ^ {T} au}) d au & = & e ^ {{oldsymbol {A}} t} {oldsymbol {B}} {oldsymbol {B}} ^ {T} e ^ {{oldsymbol {A}} ^ {T} t} | _ {t = 0} ^ {infty} & = & {oldsymbol {0}} - {oldsymbol {BB ^ {T}}} & = & {oldsymbol {-BB ^ {T}}} konec {pole}}}$

Kde jsme využili skutečnost, že ${displaystyle e ^ {{oldsymbol {A}} t} = 0}$ na ${displaystyle t = infty}$ pro stabilní ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ (všechna jeho vlastní čísla mají negativní skutečnou část). To nám ukazuje ${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {c}}$ je skutečně řešením pro Lyapunovovu rovnici, která je analyzována.

Vlastnosti

To vidíme ${displaystyle {oldsymbol {BB ^ {T}}}}$ je symetrická matice, proto je ${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {c}}$ .

Můžeme znovu použít skutečnost, že pokud ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ je stabilní (všechny jeho vlastní hodnoty mají zápornou skutečnou část), což ukazuje ${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {c}}$ je jedinečný. Abychom to dokázali, předpokládejme, že máme dvě různá řešení

${displaystyle {oldsymbol {A}} {oldsymbol {W}} _ {c} + {oldsymbol {W}} _ {c} {oldsymbol {A ^ {T}}} = - {oldsymbol {BB ^ {T}} }}$

a jsou dány ${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {c1}}$ a ${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {c2}}$ . Pak máme:

${displaystyle {oldsymbol {A}} {oldsymbol {(W}} _ {c1} - {oldsymbol {W}} _ {c2}) + {oldsymbol {(W}} _ {c1} - {oldsymbol {W}} _ {c2}) {oldsymbol {A ^ {T}}} = {oldsymbol {0}}}$

Vynásobením ${displaystyle e ^ {{oldsymbol {A}} t}}$ nalevo a ${displaystyle e ^ {{oldsymbol {A}} ^ {T} t}}$ napravo, by nás vedlo k

${displaystyle e ^ {{oldsymbol {A}} t} [{oldsymbol {A}} {oldsymbol {(W}} _ {c1} - {oldsymbol {W}} _ {c2}) + {oldsymbol {(W} } _ {c1} - {oldsymbol {W}} _ {c2}) {oldsymbol {A ^ {T}}}] e ^ {{oldsymbol {A ^ {T}}} t} = {frac {d} { dt}} [e ^ {{oldsymbol {A}} t} [({oldsymbol {W}} _ {c1} - {oldsymbol {W}} _ {c2}) e ^ {{oldsymbol {A ^ {T} }} t}] = {oldsymbol {0}}}$

Integrace z ${displaystyle 0}$ na ${displaystyle infty}$ :

${displaystyle [e ^ {{oldsymbol {A}} t} [({oldsymbol {W}} _ {c1} - {oldsymbol {W}} _ {c2}) e ^ {{oldsymbol {A ^ {T}} } t}] | _ {t = 0} ^ {infty} = {oldsymbol {0}}}$

díky tomu, že ${displaystyle e ^ {{oldsymbol {A}} t} ightarrow 0}$ tak jako ${displaystyle tightarrow infty}$ :

${displaystyle {oldsymbol {0}} - ({oldsymbol {W}} _ {c1} - {oldsymbol {W}} _ {c2}) = {oldsymbol {0}}}$

Jinými slovy, ${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {c}}$ musí být jedinečný.

To také vidíme

${displaystyle {oldsymbol {x ^ {T} W_ {c} x}} = int _ {0} ^ {infty} {oldsymbol {x}} ^ {T} e ^ {{oldsymbol {A}} t} {oldsymbol {BB ^ {T}}} e ^ {{oldsymbol {A}} ^ {T} t} {oldsymbol {x}} dt = int _ {0} ^ {infty} leftVert {oldsymbol {B ^ {T} e ^ {{oldsymbol {A}} ^ {T} t} {oldsymbol {x}}}} ightVert _ {2} ^ {2} dt}$

je pozitivní pro libovolné t (za předpokladu nedegenerovaného případu kde ${displaystyle leftVert {oldsymbol {B ^ {T} e ^ {{oldsymbol {A}} ^ {T} t} {oldsymbol {x}}}} ightVert}$ není shodně nula). To dělá ${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {c}}$ pozitivní určitá matice.

Více vlastností ovladatelných systémů najdete v,^[1] stejně jako důkaz pro další ekvivalentní prohlášení „Dvojice ${displaystyle ({oldsymbol {A}}, {oldsymbol {B}})}$ is controllable “představeno v sekci Controllability in LTI Systems.

Diskrétní časové systémy

Pro diskrétní časové systémy jako

${displaystyle {egin {array} {c} {oldsymbol {x}} [k + 1] {oldsymbol {= Axe}} [k] + {oldsymbol {Bu}} [k] {oldsymbol {y}} [k ] = {oldsymbol {Cx}} [k] + {oldsymbol {Du}} [k] konec {pole}}}$

Lze zkontrolovat, zda existují rovnocennosti pro tvrzení „Dvojice ${displaystyle ({oldsymbol {A}}, {oldsymbol {B}})}$ je ovladatelný “(ekvivalence jsou pro případ spojitého času velmi podobné).

Zajímá nás ekvivalence, která tvrdí, že pokud „Dvojice ${displaystyle ({oldsymbol {A}}, {oldsymbol {B}})}$ je ovladatelný “a všechna vlastní čísla ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ mít velikost menší než ${displaystyle 1}$ ( ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ je stabilní), pak jedinečné řešení

${displaystyle W_ {dc} - {oldsymbol {A}} {oldsymbol {W}} _ {dc} {oldsymbol {A ^ {T}}} = {oldsymbol {BB ^ {T}}}}$

je pozitivní určitý a daný

${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {dc} = součet _ {m = 0} ^ {infty} {oldsymbol {A}} ^ {m} {oldsymbol {BB}} ^ {T} ({oldsymbol {A} } ^ {T}) ^ {m}}$

Tomu se říká diskrétní ovladatelnost Gramian. Můžeme snadno vidět shodu mezi diskrétním časem a případem spojitého času, to znamená, pokud to můžeme ověřit ${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {dc}}$ je pozitivní definitivní a všechny vlastní hodnoty ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ mít velikost menší než ${displaystyle 1}$ , systém ${displaystyle ({oldsymbol {A}}, {oldsymbol {B}})}$ je ovladatelný. Další vlastnosti a důkazy najdete v.^[2]

Systémy lineárních časových variant

Systémy lineární časové varianty (LTV) jsou systémy ve formě:

${displaystyle {egin {array} {c} {dot {oldsymbol {x}}} (t) {oldsymbol {= A}} (t) {oldsymbol {x}} (t) + {oldsymbol {B}} (t ) {oldsymbol {u}} (t) {oldsymbol {y}} (t) = {oldsymbol {C}} (t) {oldsymbol {x}} (t) konec {pole}}}$

To znamená matice ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ , ${displaystyle {oldsymbol {B}}}$ a ${displaystyle {oldsymbol {C}}}$ mít položky, které se mění s časem. Opět platí, že stejně jako v případě spojitého času a v případě diskrétního času může člověka zajímat zjištění, zda systém daný dvojicí ${displaystyle ({oldsymbol {A}} (t), {oldsymbol {B}} (t))}$ je ovladatelný nebo ne. To lze provést velmi podobným způsobem jako v předchozích případech.

Systém ${displaystyle ({oldsymbol {A}} (t), {oldsymbol {B}} (t))}$ je ovladatelný v čase ${displaystyle t_ {0}}$ jen tehdy, pokud existuje konečný ${displaystyle t_ {1}> t_ {0}}$ takové, že ${displaystyle n imes n}$ matice, nazývaná také Controllability Gramian, daná

${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {c} (t_ {0}, t_ {1}) = int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} {oldsymbol {Phi}} (t_ {1} , au) {oldsymbol {B}} (au) {oldsymbol {B}} ^ {T} (au) {oldsymbol {Phi}} ^ {T} (t_ {1}, au) d au,}$

kde ${displaystyle {oldsymbol {Phi}} (t, au)}$ je matice přechodu stavu ${displaystyle {oldsymbol {dot {x}}} = {oldsymbol {A}} (t) {oldsymbol {x}}}$ , je nesmyslné.

Opět máme podobnou metodu k určení, zda systém je nebo není kontrolovatelným systémem.

Vlastnosti ${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {c} (t_ {0}, t_ {1})}$

Máme tu ovladatelnost Gramian ${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {c} (t_ {0}, t_ {1})}$ mít následující vlastnost:

${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {c} (t_ {0}, t_ {1}) = {oldsymbol {W}} _ {c} (t, t_ {1}) + {oldsymbol {Phi}} ( t_ {1}, t) {oldsymbol {W}} _ {c} (t_ {0}, t) {oldsymbol {Phi}} ^ {T} (t_ {1}, t)}$

které lze snadno vidět podle definice ${displaystyle {oldsymbol {W}} _ {c} (t_ {0}, t_ {1})}$ a vlastností matice přechodu stavu, která tvrdí, že:

${displaystyle {oldsymbol {Phi}} (t_ {1}, au) = {oldsymbol {Phi}} (t_ {1}, t) {oldsymbol {Phi}} (t, au)}$

Více informací o ovladatelnosti Gramian naleznete v.^[3]

Viz také

Reference

^ Chen, Chi-Tsong (1999). Teorie a design lineárního systému Třetí vydání. New York, New York: Oxford University Press. str.145. ISBN 0-19-511777-8.
^ Chen, Chi-Tsong (1999). Teorie a design lineárního systému Třetí vydání. New York, New York: Oxford University Press. str.169. ISBN 0-19-511777-8.
^ Chen, Chi-Tsong (1999). Teorie a design lineárního systému Třetí vydání. New York, New York: Oxford University Press. str.176. ISBN 0-19-511777-8.

externí odkazy

Funkce Mathematica pro výpočet ovladatelnosti Gramian

[1] Chen, Chi-Tsong (1999). Teorie a design lineárního systému Třetí vydání. New York, New York: Oxford University Press. str.145. ISBN 0-19-511777-8.

[2] Chen, Chi-Tsong (1999). Teorie a design lineárního systému Třetí vydání. New York, New York: Oxford University Press. str.169. ISBN 0-19-511777-8.

[3] Chen, Chi-Tsong (1999). Teorie a design lineárního systému Třetí vydání. New York, New York: Oxford University Press. str.176. ISBN 0-19-511777-8.

[1]

[2]

[3]

Ovládatelnost Gramian - Controllability Gramian

Říditelnost v systémech LTI